• Lösungen zu Aufgabe 3
  • Feldmann
  • 30.06.2020
  • Fachhochschulreife
  • Mathematik
  • 12
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  • Schritt 1: Funktionsgleichung in allgemeiner Form mit ihren beiden Ableitungen.

    f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=3ax2+2bx+cf(x)=6ax+2b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{alignedat}{3.5} f(x)&=&ax^3 &+bx^2+cx +d \\ f'(x)&=& 3ax^2&+2bx +c\\ f''(x)&=&6ax&+2b \end{alignedat}

    Schritt 2: Übertragen der Bedingungen aus Text/ Graph in die Funktionsbedingungen.

    Sx(0/0)    f(0)=0P(2/32)    f(2)=32HP(2/f(2))    f(2)=0WP(4/f(4))    f(4)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{alignedat}{3.5} S_x(0/0)&\implies f(0)=0 \\ P (2/32) &\implies f(2)=32 \\ HP (2/f(2)) &\implies f'(2)=0 \\ WP (4/f(4)) &\implies f''(4)=0 \end{alignedat}

    Schritt 3: Überführen der Funktionsbedingungen in die Bedingungsgleichungen.

    f(0)=0    a03+b02+c0+d=0f(2)=32    a23+b22+c2+d=32\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{alignedat}{6} f(0)=0&\implies a\sdot 0^3+b\sdot0^2+c\sdot0+d=0 \\ f(2)=32 &\implies a\sdot 2^3+b\sdot 2^2+c \sdot 2+d=32 \\ \end{alignedat}
    f(2)=0    3a22+2b2+c=0f(4)=0    6a4+2b=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{alignedat}{6} f'(2)=0 &\implies 3\sdot a\sdot 2^2+2\sdot b\sdot 2+c&=0 \\ f''(4)=0 &\implies 6\sdot a \sdot 4+2\sdot b&=0 \end{alignedat}

    Schritt 4: Zusammenfassen der Bedingungsgleichungen zu einem linearen Gleichungssystem.

    0a+0b+0c+d=08a+4b+2c+d=3212a+4b+c=024a+2b=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \begin{alignedat}{} 0a&+0b+0c+d&=&\:0 \\ 8a&+4b+2c+d&=&\:32 \\ 12a&+4b+c&=&\:0 \\ 24a&+2b&=&\:0 \end{alignedat}