• Trigonometrische Funktionen - Einführung
  • Simon Brückner
  • 11.09.2020
  • Mathematik
  • 11
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    Einstieg

    xGridLinesyGridLines
    xGridLinesyGridLinesxLabels12xAxisxAxisLabelxyLabels-80-404080yAxisyAxisLabelyoriginO
    Ein Riesenrad mit 100m Radius benötigt für eine Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn genau 2 min.
    • Wo befindet sich die Gondel, die zu Beginn der Beobachtung am
      äußersten rechten Punkt des abgebildeten Rades war, nach 10,
      15, 20, 30 und 40 Sekunden. Zeichnen Sie jeweils ein.
    • Die Funktion f gibt die Höhe der Gondel relativ zum Radmittel-
      punkt zu jedem Zeitpunkt (x in min) an (z. B. gilt f(0)=0,
      f(0,5)=100). Skizzieren Sie den Graphen von f für die ersten drei
      Minuten, indem Sie Werte durch Abmessen bestimmen.
    • Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f. Setzen Sie den
      Graphen in beide Richtungen fort.
    • Zusatz: Wie lässt sich die Höhe der Gondel nach 40 s berechnen?
      (Tipp: Längen im Dreieck)
    Trigonometrie


    sin(α)=ac\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} sin(\alpha)=\frac{a}{c}
    cos(α)=bc\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} cos(\alpha)=\frac{b}{c}

  • Mit den Erkenntnissen aus dem Einstieg wird es Ihnen leicht fallen, die hier angegebenen Videos zu verstehen und die Lückentexte zu ergänzen:

    Trigonometrie anschaulich erklärt I
    musstewissen Mathe

    https://youtu.be/ZC7zplrmSHw

    Winkelmaß und Bogenmaß I musstewissen Mathe
    https://youtu.be/G-5AJfNNfMk

    Der Einheitskreis

    Merke: Der Kreis mit Mittelpunkt M(0|0) und Radius heißt Einheitskreis.
    Trägt man im Punkt M einen Strahl im Winkel α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha zur x-Achse ab, schneidet dieser den Einheits-kreis im Punkt P(|).

    xGridLinesyGridLinesxLabelsxAxisxAxisLabelxyLabelsyAxisyAxisLabelyoriginOb

    Bogenmaß

    Merke: Die , die zum Winkel α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha auf dem Einheitskreis gehört, heißt Bogenmaß des Winkels α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha.
    Es gilt:


    Allgemein:
    α360°=b2π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac\cloze{\alpha}\cloze{360°}=\frac\cloze{b}\cloze{2\pi}

    α\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \alpha

    360°

    180°

    90°

    30°

    270°\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{270°}

    720°\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{720°}

    b\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} b

    2π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{2\pi}

    π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\pi}

    π2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\frac{\pi}{2}}

    π6\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\frac{\pi}{6}}

    32π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{3}{2}\pi

    4π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 4\pi