• Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen
  • Simon Brückner
  • 24.09.2020
  • Mathematik
  • 11
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  • Sinus- und Kosinusfunktion

    Nachdem am Einheitskreis Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definiert werden können und mit dem Bogenmaß Winkel ohne zusätzliche Einheit angegeben werden können. Lassen sich jetzt die Sinus- und die Kosinusfunktion definieren.

    1
    Berechnen Sie die gesuchten Funktionswerte und ergänzen Sie die Tabelle. Tipp: Nutzen Sie das Tabellen-Menü Ihres Taschenrechners.

    x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x

    0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} 0

    16π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{1}{6}\pi

    14π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{1}{4}\pi

    13π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{1}{3}\pi

    12π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{1}{2}\pi

    f(x)=sin(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=\sin(x)

    120\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{0}}
    =0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small=0}

    121\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{1}}
    =0,5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small=0,5}

    122\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{2}}
    0,71\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\approx0,71}

    123\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{3}}
    0,87\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\approx0,87}

    124\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{4}}
    1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\approx1}

    g(x)=cos(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x)=\cos(x)

    124\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{4}}
    =1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small=1}

    123\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{3}}
    0,87\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\approx0,87}

    122\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{2}}
    0,71\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\approx0,71}

    121\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{1}}
    =0,5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small=0,5}

    120\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small\frac{1}{2}\sqrt{0}}
    =0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small=0}

    Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion skizzieren

    2
    Skizzieren Sie damit die Graphen.
    xGridLinesyGridLinesxLabelsxAxisxAxisLabelxyLabelsyAxisyAxisLabelyoriginOπ1-1
    3
    Bestimmen Sie folgende Werte ohne neue Werte mit dem Taschenrechner zu berechnen.
    • sin(32π)=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \sin(\frac{3}{2}\pi)=\cloze{\small-1}
    • cos(2π)=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cos(2\pi)=\cloze{\small1}
    • cos(76π)=0,87\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cos(\frac{7}{6}\pi)=\cloze{\small-0,87}
    • cos(12π)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cos(-\frac{1}{2}\pi)=\cloze{\small0}
    • sin(23π)=0,87\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \sin(-\frac{2}{3}\pi)=\cloze{\small-0,87}
    • cos(76π)=0,87\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cos(-\frac{7}{6}\pi)=\cloze{\small-0,87}
    4
    Die beiden Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert (Ihre Definitionsmenge ist also die Menge aller reellen Zahlen; D=R\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\mathbb{D}=\mathbb{R}). Mit dem Taschenrechner lassen sich also auch Funktionswerte zu x-Werten berechnen, die kein rationales Vielfaches von π\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\pi sind.
    Berechnen Sie entsprechend.
    • sin(2)=0,91\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \sin(2)=\cloze{\small0,91}
    • cos(4)=0,65\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cos(-4)=\cloze{\small-0,65}
    • sin(100)=0,51\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \sin(100)=\cloze{\small-0,51}