• 20220307_Normierte_Vektoren
  • anonym
  • 07.03.2022
  • Mathematik
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Normierter Vektor
1
Normiere die gegebenen Vektoren und führe den Plausibilitätscheck durch.

Beispiel:

F1=(F2F0)F1^=1F1F1=15F(F2F0)=15(120)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \vec{F}_1=\begin{pmatrix} -F \\ 2F \\ 0 \end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad\hat{\vec{F}_1}=\frac{1}{\left|\vec{F}_1\right|}\cdot\vec{F}_1=\frac{1}{\sqrt{5}F}\begin{pmatrix} -F \\ 2F \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}

Plausibilitätscheck: F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F kürzt sich raus. Der normierte Vektor ist einheitenlos,

da F1=F1x2+F1y2+F1z2=(F)2+(2F)2+(0F)2=5F2=5F\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\vec{F}_1|=\sqrt{F^2_{1x}+F^2_{1y}+F^2_{1z}}=\sqrt{(-F)^2+(-2F)^2+(0F)^2}=\sqrt{5F^2}=\sqrt5F

F2=(00G)F^2=(001)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \vec{F}_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ G \end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad\hat{\vec{F}}_2=\cloze{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}}
F3=(04FF)F^3=117(041)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \vec{F}_3=\begin{pmatrix} 0 \\ -4F \\ F \end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad\hat{\vec{F}}_3=\cloze{\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}}
F4=(5F4F3F)F^4=150(543)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \vec{F}_4=\begin{pmatrix} 5F \\ 4F \\ -3F \end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad\hat{\vec{F}}_4=\cloze{\frac{1}{\sqrt{50}}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}}
F5=(23F12FF)F^5=3661(23121)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \vec{F}_5=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}F \\ \frac{1}{2}F \\ - F \end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad\hat{\vec{F}}_5=\cloze{\sqrt{\frac{36}{61}}\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} \\ - 1 \end{pmatrix}}
F6=(012F14F)F^6=15(021)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \vec{F}_6=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2}F \\ \frac{1}{4}F \end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad\hat{\vec{F}}_6=\cloze{\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}
2
Fülle die Lücken aus.

Wenn man bei einer Aufgabe ein Ergebnis oder auch ein Zwischenergebnis berechnet hat, lohnt es sich IMMER, einen check durchzuführen.
Beim Normieren von Vektoren kann man z.B. prüfen ob der normierte Vektor auch wirklich keine hat. Ist der Vektor nicht einheitenlos, weiß man, dass man sich verrechnet hat.
Ist ein normierter Vektor bereits gegeben, kann man zur Sicherheit auch zusätzlich noch einmal nachrechnen, ob seine Länge auch wirklich den Wert hat.

3
Und hier kannst du noch ein bisschen Kopfrechnen üben.
  • 9 * 9 =
  • 2 * 2 =
  • 7 * 7 =
  • 5 * 7 =
  • 8 * 3 =
  • 8 * 8 =
  • 4 * 10 =
  • 10 * 10 =
  • 6 * 6 =
  • 5 * 5 =
  • 5 * 9 =
  • 3 * -7 =
  • 7 * -5 =
  • 3 * 6 =
  • 7 * 9 =
  • 3 * -2 =
  • 4 * 4 =
  • 5 * -7 =
  • 9 * -8 =
  • 3 * 3 =
4
Verbinde das passende Ergebnis
  • 22\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2 \cdot 2
  • 88\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 8 \cdot 8
  • 44\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 4 \cdot 4
  • 11\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 1 \cdot 1
  • 77\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 7 \cdot 7
  • 66\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 6 \cdot 6
  • 1010\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 10 \cdot 10
  • 99\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 9 \cdot 9
  • 33\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3 \cdot 3
  • 55\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 5 \cdot 5
  • 1
  • 49
  • 25
  • 4
  • 81
  • 9
  • 16
  • 36
  • 64
  • 100