• Musterlösung von: AB - Multiplikation von Brüchen
  • anonym
  • 30.06.2020
  • Allgemeine Hochschulreife
  • Mathematik
  • 6
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Thema der Stun­de : Mul­ti­pli­ka­ti­on von Brü­chen

Wir zie­hen um!

Die Eu­ro­pa­schu­le in Ker­pen be­kommt ein neues Zu­hau­se. Die Pla­nun­gen lau­fen im Hin­ter­grund be­reits auf Hoch­tou­ren. Doch nur we­ni­ge In­for­ma­tio­nen drin­gen nach außen. Schlau­bi hat sich um­ge­hört und unter an­de­rem fol­gen­de In­for­ma­tio­nen zu­sam­men­ge­tra­gen:

Grundstu¨cksgro¨ße:    120000m2  \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Grundstücksgröße: \; \; 120000 \:m^2\;
Sportanlagen:  12  der  Gesamtfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Sportanlagen: \; \frac{1}{2}\;der \; Gesamtfläche
das  Schulgeba¨ude  14,  der  Spielplatz  58  und  der  Parkplatz  18  der  Restfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} das\;Schulgebäude\;\frac{1}{4},\;der\;Spielplatz\;\frac{5}{8}\;und\;der\;Parkplatz\;\frac{1}{8}\; der\; Restfläche

Schlau­bi meint: "Oh je, das kann ja nichts wer­den. Alles zu­sam­men er­gibt doch mehr als ein Gan­zes!?!"

Ein­zel­ar­beit: Wie denkst du dar­über?

Stel­le auch eine Ver­mu­tung dazu auf, wie viel                             der Ge­samt­flä­che sind.

58von12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{5}{8}\: von\: \frac{1}{2}
12+14+58+18=128=32=112=1,5=>mehralseinGanzes!\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{5}{8}+\frac{1}{8}= \frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1{,}5 => mehr\:als\:ein\:Ganzes!
58von12=610oder58von12=98oder58von12=46oder58von12=18\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{5}{8}\:von\:\frac{1}{2}=\frac{6}{10}\:oder\:\frac{5}{8}\:von\:\frac{1}{2}=\frac{9}{8}\:oder\:\frac{5}{8}\:von\:\frac{1}{2}=\frac{4}{6}\:oder\:\frac{5}{8}\:von\:\frac{1}{2}=\frac{1}{8}
Vermutung:58von12=s.o.\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Vermutung:\: \frac{5}{8}\: von\: \frac{1}{2}= s.o.
1
Ein­zel­ar­beit: Falt- und Mal­auf­ga­be
  • Nimm ein Blatt Pa­pier zur Hand und falte es ins­ge­samt 4-mal, bis du die Ab­bil­dung links er­hälst. (Ver­su­che exakt zu fal­ten!)

  • Falte das Blatt wie­der ganz aus­ein­an­der. Das Blatt stellt die Grund­stücks­flä­che für die neue Schu­le dar. Mar­kie­re den Teil der Ge­samt­flä­che farb­lich (grob), der für Sport­an­la­gen vor­ge­se­hen ist. Ent­schei­de sel­ber, wo diese An­la­gen hin­ge­baut wer­den sol­len!

  • Ent­schei­de nun auch, wo das Schul­ge­bäu­de, der Park­platz und die Spiel­flä­chen auf der noch frei­en Flä­che des Grund­stücks lie­gen sol­len und mar­kie­re auch diese Flä­chen je­weils farb­lich (und grob) in der ge­plan­ten Größe.

  • Part­ner­ar­beit: Ver­glei­che dein Er­geb­nis mit dei­nem Sitz­nach­bar

Part­ner­ar­beit: Ver­glei­che dein Er­geb­nis mit dei­nem Sitz­nach­bar. Sind eure je­wei­li­gen Flä­chen gleich groß? (Eine mög­li­che Lö­sung fin­det ihr an der Ta­fel­rück­sei­te)

2
Part­ner­ar­beit: Gebt die An­tei­le an der Ge­samt­flä­che an! (Tipps gibt es am Leh­rer­pult!)
AnteildesSchulgeba¨udesanderGesamtfla¨che:14von12=18\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \:\:\:\:\:\:\:Anteil\:des\:Schulgebäudes\:an\:der\:Gesamtfläche:\frac{1}{4}\: von\: \frac{1}{2}= \frac{1}{8}
AnteilderSpielfla¨cheanderGesamtfla¨che:58von12=516\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \:\:\:\:\:\:\:Anteil\:der\:Spielfläche\:an\:der\:Gesamtfläche:\frac{5}{8}\: von\: \frac{1}{2}= \frac{5}{16}
AnteildesParkplatzesanderGesamtfla¨che:18von12=116\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \:\:\:\:\:\:\:Anteil\:des\:Parkplatzes\:an\:der\:Gesamtfläche:\frac{1}{8}\: von\: \frac{1}{2}= \frac{1}{16}
3
Er­ge­ben die An­tei­le zu­sam­men mit den Sport­an­la­gen also wirk­lich mehr als ein Gan­zes, so wie Schlau­bi mein­te? Rech­net ein­mal für ihn nach!
Gut zu wis­sen!

In der Ma­the­ma­tik schrei­ben wir für

"von" kann durch ein "Mal" er­setzt wer­den. Das Er­geb­nis ist das­sel­be.

12+18+516+116=1616=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{5}{16}+\frac{1}{16}= \frac{16}{16}=1
58von12auch5812\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{5}{8}\: von\: \frac{1}{2} \:auch \:\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2}

Ver­gleicht eure Er­geb­nis­se aus Auf­ga­be 2 und 3 nun mit einer Part­ner­grup­pe (Bus­hal­te­stel­le)

4
Part­ner­ar­beit: Stellt mit Blick auf die Er­geb­nis­se in Auf­ga­be 3 er­neut eine Ver­mu­tung dazu auf, wie An­tei­le von An­tei­len be­rech­net wer­den könn­ten. Zum Bei­spiel:
a)58von12(also5812)oderb)415von35(also41535)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a)\:\frac{5}{8}\: von\: \frac{1}{2} \:\left (also\: \frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2} \right ) oder \:b)\:\frac{4}{15}\: von\: \frac{3}{5}\left (also\: \frac{4}{15}\cdot \frac{3}{5} \right )
a)58von12=5812=5182=516\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a)\:\frac{5}{8}\: von\: \frac{1}{2}=\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2} =\frac{5\cdot1}{8\cdot2}=\frac{5}{16}
b)415von35=41535=43155=1275=425\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b)\:\frac{4}{15}\: von\: \frac{3}{5}=\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{5} =\frac{4\cdot3}{15\cdot5}=\frac{12}{75}=\frac{4}{25}

Ver­gleicht eure Er­geb­nis­se aus Auf­ga­be 4 nun mit einer Part­ner­grup­pe! (Bus­hal­te­stel­le)

5
Part­ner­ar­beit: Ver­sucht die fol­gen­den Auf­ga­ben zu be­rech­nen. Ihr könnt auch die Qua­dra­te dar­un­ter nut­zen, um eure Rech­nun­gen zeich­ne­risch zu über­prü­fen.
34von14=316\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{4}\:von\: \frac{1}{4}\:= \frac{3}{16}
51234=516\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{5}{12}\cdot \frac{3}{4}\:= \frac{5}{16}
310von25=325\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{10}\:von\: \frac{2}{5}\:= \frac{3}{25}
27718=19\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{2}{7}\cdot \frac{7}{18}\:= \frac{1}{9}

Ver­gleicht eure Er­geb­nis­se aus Auf­ga­be 5 nun mit einer Part­ner­grup­pe! (Bus­hal­te­stel­le)

(Tipps gibt es am Leh­rer­pult)

6
Sprin­ter­auf­ga­ben (für schnel­le Paare)
  • Be­rech­ne mit den er­mit­tel­ten An­tei­len an der Ge­samt­flä­che aus Auf­ga­be 2 die Größe der ein­zel­nen Be­rei­che (Ins­ge­samt 120000 Qua­drat­me­ter).
Sportanlagen:60000m2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Sportanlagen: 60000\:m^{2}
Schulgeba¨ude:15000m2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Schulgebäude: 15000\:m^{2}
Spielfla¨che:37500m2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Spielfläche: 37500\:m^{2}
Parkplatz:7500m2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Parkplatz: 7500\:m^{2}

Pla­nungs­än­de­rung“: Die ge­plan­te Auf­tei­lung des Grund­stücks stell­te sich nach reif­li­cher Über­le­gung als un­ge­eig­net her­aus. Statt­des­sen soll zu­künf­tig mit fol­gen­der Ver­tei­lung ge­plant wer­den:

Sportanlagen:  25  der  Gesamtfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Sportanlagen: \; \frac{2}{5}\;der \; Gesamtfläche
das  Schulgeba¨ude  13,  der  Spielplatz  25  und  der  Parkplatz  415  der  Restfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} das\;Schulgebäude\;\frac{1}{3},\;der\;Spielplatz\;\frac{2}{5}\;und\;der\;Parkplatz\;\frac{4}{15}\; der\; Restfläche
7
Be­rech­ne die neuen An­tei­le an der Ge­samt­flä­che
Sportanlagen:25von11=2511=2151=25derGesamtfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Sportanlagen: \: \frac{2}{5}\:von\: \frac{1}{1} = \frac{2}{5} \cdot\frac{1}{1} = \frac{2\cdot1}{5\cdot1} = \frac{2}{5}\:der\:Gesamtfläche
Schulgeba¨ude:13von35=1335=1335=15derGesamtfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Schulgebäude: \: \frac{1}{3}\:von\: \frac{3}{5} = \frac{1}{3} \cdot\frac{3}{5} = \frac{1\cdot3}{3\cdot5}=\frac{1}{5} \:der\:Gesamtfläche
Spielplatz:25von35=2535=2355=625derGesamtfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Spielplatz: \: \frac{2}{5}\:von\: \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \cdot\frac{3}{5} = \frac{2\cdot3}{5\cdot5}=\frac{6}{25} \:der\:Gesamtfläche
Parkplatz:415von35=41535=43155=425derGesamtfla¨che\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Parkplatz: \: \frac{4}{15}\:von\: \frac{3}{5} = \frac{4}{15} \cdot\frac{3}{5} = \frac{4\cdot3}{15\cdot5}=\frac{4}{25} \:der\:Gesamtfläche
8
Über­prü­fe deine Er­geb­nis­se, indem du eine Mög­lich­keit suchst, die neue Auf­tei­lung in die Grund­stücks­flä­che links ein­zu­tra­gen und die ein­zel­nen Be­rei­che farb­lich zu mar­kie­ren, um sie dann mit den aus­ge­rech­ne­ten Er­geb­nis­sen ver­glei­chen zu kön­nen.
9
Nutze dein Wis­sen zur Mul­ti­pli­ka­ti­on von De­zi­mal­zah­len, um deine Er­geb­nis­se zum Schul­ge­bäu­de und zum Spiel­platz zu be­stä­ti­gen.
Schulgeba¨ude:13350,3330,60,2=15\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Schulgebäude:\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\approx 0{,}333\:\cdot0{,}6\approx 0{,}2=\frac{1}{5}
Spielplatz:2535=0,40,6=0,24=625\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Spielplatz:\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}= 0{,}4\cdot 0{,}6 =0{,}24 =\frac{6}{25}

Ver­gleicht eure Er­geb­nis­se mit der Mus­ter­lö­sung am Leh­rer­pult)