• Potenzen, Binomische Formeln, Wachstum und Zerfall
  • MBLotz
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 10
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Re­chen­weg

Bi­no­mi­sche For­meln sind eine Ab­kür­zung zum Aus­mul­ti­pli­zie­ren von Klam­mern.

1. Bi­no­mi­sche For­mel

Merke
Alle Vor­zei­chen sind po­si­tiv!

So­wohl Zah­len als auch Va­ria­blen wer­den po­ten­ziert!

Für das Mit­tel­glie­d musst du alle Zah­len mul­ti­pli­zie­ren und die Va­ria­blen an­hän­gen!

Bei­spiel:
(4x+3y)2= 16x2+24xy+9y2

Be­rech­ne eben­so:
  • (a + 3)2 =
  • (4x + 3)2 =
  • (2x + 6 )2 =
  • ( 0,5a + 3b)2 =
  • (12a + 0,8b)2 =
  • (1,5a4 + 2,5x2)2 =

2. Bi­no­mi­sche For­mel

Bei­spiel:

(3a-5b)2= 9a2 - 30ab + 25b2

Merke
Die Vor­zei­chen sind minus und plus!
An­sons­ten gel­ten die Re­geln der ers­ten bi­no­mi­schen For­mel.

Be­rech­ne eben­so:
  • (a - 4)2 =
  • (2d - 3)2 =
  • (5e - 2,5f )2 =
  • ( 0,5g - h)2 =
  • (1,5k - 8m)2 =
  • (5a2 - 2b3)2 =

3. Bi­no­mi­sche For­mel

Merke
Es gibt zu­erst zwei Klam­mern mit + und -!
In der Auf­lö­sung ent­fäll­t das Mit­tel­glie­d!

Bei­spiel:

(3a-5b) • (3a+5b)= 9a2 - 25b2

Be­rech­ne eben­so:
  • (a - 4) • (a + 4) =
  • (2d - 3) • (2d + 3) =
  • (5e+2,5f ) • (5e - 2,5f) =
  • (0,5g2 + 2h) • (0,5g2 - 2h) =

Ver­misch­te Platz­hal­ter­übun­gen

1) + + 0,25 c8= ( 3ab3 + )2
2) 6,25z2 - 30yz + = ( - )2
3) ( + )2 = + 2fc + 0,25c2
4) ( - 5m)2 = 1,44e2 - +
5) ( - 3z)2 = 0,25x4y2 - +

Re­chen­weg

No­tie­re zu­nächst, was ge­ge­ben ist und was ge­sucht. Setze in die For­mel ein, stel­le um und rech­ne aus!

1
2018/I,8
2007 hatte eine Stadt 133 539 Ein­woh­ner. 2016 waren es nur noch 124 698 Ein­woh­ner.
  • Be­rech­nen Sie den durch­schnitt­li­chen jähr­li­chen Be­völ­ke­rungs­rück­gang in Bezug auf das je­wei­li­ge Vor­jahr.
  • Ab dem Jahr 2017 ,ächte die Stadt jähr­lich 0,6% wach­sen. In wie vie­len Jah­ren würde die Be­völ­ke­rungs­zahl auf 150 000 Men­schen an­wach­sen?
  • 2007 hatte der Nach­bar­ort 2205 Ein­woh­ner. Dort stieg die Ein­woh­ner­zahl in den fol­gen­den fünf Jah­ren um je­weils 0,7%. In den dar­auf­fol­gen­den vier Jah­ren er­höh­te sie sich um je­weils 1,4 Pro­zent. Be­rech­nen Sie die Ein­woh­ner­zahl im Jahr 2016.
2
2017/I,8
Frau Belut will An­fang 2018 bei einer Bank 3000 € an­le­gen. Ihr Wunsch ist es, den Be­trag in den nächs­ten 17 Jah­ren zu ver­vier­fa­chen.
  • Wel­chen Zins­satz muss sie hier­für be­kom­men?
  • Die Bank ge­währt einen Zins­satz von 2,51%. Be­rech­nen Sie, nach wie vie­len Jah­ren sich das Ka­pi­tal tat­säch­lich ver­vier­facht hätte.
  • Be­rech­nen Sie die Höhe des Ka­pi­tals, das Frau Belut an­le­gen müss­te, damit sie bei einem Zins­satz von 2,51% nach 17 Jah­ren einen Ge­samt­be­trag von 12000€ zur Ver­fü­gung hätte.
3
2014/I,4
Ein Mo­tor­rad kos­tet neu 12950 €.
  • Be­rech­nen Sie den Wert des Mo­tor­rad­s nach fünf Jah­ren, wenn es im ers­ten Jahr 21, im zwei­ten Jahr 19 und in den fol­gen­den Jah­ren immer 14% sei­nes Wer­tes ver­liert.
  • Nach acht Jah­ren ist es noch 3000 € wert. Be­rech­nen Sie den durch­schnitt­li­chen Wert­ver­lust in Pro­zent.
  • Er­mit­teln Sie rech­ne­risch, nach wie vie­len Jah­ren ein PKW bei einem durch­schnitt­li­chen jähr­li­chen Wert­ver­lust von 16% nur noch die Hälf­te wert ist.
Re­chen­weg

Schrei­be erst die ne­ga­ti­ven Po­ten­zen auf die an­de­re Seite des Bruch­s.

Dann ordne nach Buch­sta­ben und Zah­len.

Schließ­lich kannst du ver­ein­fa­chen und aus­rech­nen.

4
Ver­ein­fach den Term so weit wie mög­lich.
4x4 • 3y -8 • 5z -3 • 2x -2 • 4y7 • z4
16z • 15x2 • 3y -2