• Wdh Stochastik
  • anonym
  • 30.06.2020
  • Mathematik
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In der Mathematik führt man Zufallsversuche durch, um Aussagen über bestimmte Geschehnisse treffen zu können. Diese Versuche kann man auch Experimente nennen. Zur Durchführung benötigt man ein Zufallsgerät wie zum Beispiel eine Münze oder einen Würfel. Alle Werte, die auftreten können, nennt man Ergebnis. Bei einer Münze zum Beispiel wären die möglichen Ergebnisse Kopf oder Zahl.
Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereignis zusammenfügen. Beim Würfeln könnte ein mögliches Ereignis lauten: „Würfeln einer ungeraden Zahl“. Bei diesem Ereignis würden die Ergebnisse 1, 3 und 5 zusammengefasst. Ereignisse können abhängig und unabhängig voneinander sein.

Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches werden in der Ergebnismenge Ω zusammengefasst. Bleibt man bei dem Beispiel Würfeln ist Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Haben alle Ergebnisse eines Zufallsversuches die gleiche Wahrscheinlichkeit spricht man von einem Laplace – Versuch.
Führt man einen Zufallsversuch mehrmals durch und schreibt alle Ergebnisse nacheinander auf, entsteht eine Urliste. Fasst man für jedes Ergebnis die Anzahl mit Strichen zusammen, hat man eine Strichliste. Daraus lässt sich die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ablesen, die die Anzahl eines Ergebnisses angibt. Die relative Häufigkeit wird berechnet als:

Sie kann als gemeiner Bruch, als Dezimalbruch oder in Prozent angegeben werden.

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Bei der Durchführung von Zufallsversuchen kann man das Ergebnis nicht vorhersagen, es hängt vom Zufall ab. Man kann aber die Wahrscheinlichkeit P für ein bestimmtes Ergebnis ermitteln. Wahrscheinlichkeiten können ebenfalls als gemischter Bruch, als Dezimalbruch bzw. in Prozent angegeben werden.
Ist ein Versuch ein Laplace – Versuch, kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses E direkt berechnen:

Je nachdem, wie oft man einen Zufallsversuch durchführt, spricht man von einstufigen,
zweistufigen oder mehrstufigen Zufallsversuchen. Die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsversuches können übersichtlich in einem Baumdiagramm dargestellt werden. Zu jeder Entscheidungsmöglichkeit gehört eine Verzweigung im Diagramm. Somit kann man anhand der Äste die verschiedenen Möglichkeiten ablesen sowie die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten
abzählen.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses von einem mehrstufigen Zufallsversuch werden zwei Regeln angewandt: Multiplikationsregel und Additionsregel.

Bei vielen Versuchen ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeiten direkt zu berechnen. Daher wäre es notwendig, eine lange Versuchsreihe durchzuführen und die Wahrscheinlichkeiten aus den relativen Häufigkeiten zu ermitteln. Dies ist oft aufwendig. Statt dessen greift man eher auf das Mittel der Simulation zurück. Hierbei wird ein aufwendiger
Zufallsversuch mit Hilfe von Computern simuliert, also nachgeahmt.

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Die Urliste ist die ungeordnete Liste dieser Daten.
Die Rangliste ist die von der kleinsten zur größten Zahl geordnete Urliste.
Der Zentralwert (Median) ist der Wert in der Mitte der Rangliste.
Der Modalwert ist der am häufigsten beobachtete Wert.
Die Spannweite ist der Unterschied zwischen größtem (Maximum) und kleinstem (Minimum) Wert.
Das arithmetische Mittel berechnet sich aus der Summe der Listenwerte durch deren Anzahl.

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1
Finde heraus, was es bedeutet, wenn zwei Ereignisse voneinander unabhängig sind. Nenne 1 Beispiel.
2
Würfle 10 mal. Erstelle eine Urliste und eine Strichliste. Gib die relativen und absoluten Häufigkeiten für jede Augenzahl an.
3
Heute morgen beim Anziehen hast du in deinem Schrank gesehen, dass du noch 4 T-Shirts und 2 Hosen darin liegen hast.

Erstelle ein Baumdiagramm. Ermittle die Anzahl der verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten.
4
Erkläre die beiden Regeln, die zur Berechnung für Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm gelten.
5
Das Glücksrad wird 2 mal gedreht.
  • Zeichne ein Baumdiagramm. Beschrifte alle Pfade mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
    A: Es wird 2 mal dieselbe Zahl gedreht.
    B: Zuerst bleibt das Glücksrad bei einer 3 stehen, danach bei einer 2.