• Haupsatz der Differential- und Integralrechnung
  • anonym
  • 30.06.2020
  • Allgemeine Hochschulreife
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Der Haupt­satz der Differential-​ und In­te­gral­rech­nung

Der Haupt­satz der Differential-​ und In­te­gral­rech­nung ist einer der wich­tigs­ten Sätze in der Ana­ly­sis. Er ist auch die Grund­la­ge dafür, dass wir In­te­gra­le exakt und ohne die Bil­dung von Unter-​ und Ober­sum­men be­rech­nen kön­nen. Seine Haupt­aus­sa­ge ist, dass jede In­te­gral­funk­ti­on eine Stamm­funk­ti­on ist, also das fol­gen­des gilt:

Jetzt wol­len wir uns über­le­gen, warum diese Aus­sa­ge stimmt und wie wir mit Hilfe die­ses Haupt­sat­zes ganz ein­fach In­te­gra­le be­rech­nen kön­nen.

1
Wir be­zeich­nen I(x) als In­te­gral­funk­ti­on. Diese Funk­ti­on gibt den Flä­chen­in­halt zwi­schen der Funk­ti­on f und der x-​Achse an. Ge­mes­sen wird dabei immer der Flä­chen­in­halt zwi­schen der Stel­le null und einer an­de­ren be­lie­bi­gen Stel­le, die grö­ßer ist als null.
Die dunk­le Flä­che kön­nen wir also als I(a) be­zeich­nen

Die helle Flä­che kann durch

I(a+h) - I(a) = I(a+h) - I(a) be­zeich­net wer­den

2
Die helle Flä­che kann mit Hilfe der

Zwischensumme be­rech­net wer­den.

Wich­tig ist dabei, dass die bei­den rot mar­kier­ten Flä­chen

gleich groß sind.

3
Die Stel­le an der die obere Kante des Recht­eckts den Gra­phen schnei­det nen­nen wir t. Es gilt also für die helle Flä­che:

I(a+h) - I(a) = f(t) h.

4
Nun stel­len wir nach f(t) um:



5
Nun schau­en wir, was pas­siert, wenn wir h immer klei­ner wer­den las­sen:



Den Aus­druck auf der rech­ten des Gleich­heits­zei­chen ken­nen wir schon. Das ist der

Differentialquotient von I an der Stel­le a. Für die­sen kön­nen wir auch I'(a) schrei­ben.

6
Wenn h gegen null läuft, dann gilt:

f(t) läuft gegen f(a).

7
Die Er­kennt­nis­se aus 5 und 6 set­zen wir nun in die For­mel aus 5 ein.
Aus



Wird dann:

f(a) = I'(a).

Dies ist genau die Aus­sa­ge, die wir zei­gen woll­ten.

Wir haben jetzt also ge­zeigt, dass die Ab­lei­tung un­se­rer In­te­gral­funk­ti­on I, die Funk­ti­on des Gra­phen ist, unter dem wir den Flä­chen­in­halt ge­mes­sen haben.
Das be­deu­tet im Um­kehr­schluss, dass wir nun In­te­gra­le be­rech­nen kön­nen, in dem wir die Aus­gangs­funk­ti­on ein­fach auf­lei­ten.
Wir haben auch schon ge­merkt, dass wenn wir das In­te­gral in be­stimm­ten Gren­zen be­rech­nen wol­len, wir das In­te­gral an der obe­ren Gren­ze minus das In­te­gral der un­te­ren Gren­ze rech­nen müs­sen.

Für die hell­grü­ne Flä­che gilt dann also wenn F(x) eine Stamm­funk­ti­on von f ist:

x