• Momentane Änderungsrate
  • anonym
  • 30.06.2020
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Die Strecke (in Meter) einer frei fallenden Kugel kann näherungsweise mit der Funktion f(t)=5t2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(t)=5*t^2 beschrieben werden (t in Sekunden ab dem Loslassen der Kugel)

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Die Änderungsrate gibt dann die Geschwindigkeit der Kugel an. Berechne zunächst die mittlere Geschwindigkeit für das Zeitintervall zwischen 1 und 2 Sekunden.


a) Berechnung der Mittleren Änderungsrate für das Intervall [1,2]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} [1{,}2]:


f(2)f(1)21\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{f(2) - f(1)}{2-1}=


Die mIttlere Geschwindigkeit im Zeitraum zwischen einer und zwei Sekunden ist demnach:

Die Steigung der Sekanten ist also m=

b) Graphische Lösung:

Graphische Lösung:

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Berechne nun weitere Durchschnittsgeschwindigkeiten für immere kleinere Zeitintervalle (Bsp. i) [1,1.5]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} [1, 1.5]; ii) [1,1.1]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} [1, 1.1]; iii) [1,1.01]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} [1, 1.01] usw.) und stelle eine Vermutung für die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=1 (also nach einer Sekunde) auf.


Vermutung für die Geschwindigkeit
zum Zeitpunkt t=1:


Beweis für die Vermutung:

Graphische Lösung:

Ableitung - momentane Änderungsrate