TitelPolynomialgleichungen lösen
AutorSimon Brückner
veröffentlicht25.02.2021
FachMathematik
Klassenstufe11

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Gleichungen lösen

Für lineare und quadratische Gleichungen - also Gleichungen ersten und zweiten Grades - kennen Sie bereits Verfahren, um diese zu lösen. Für Gleichungen höheren Grades benötigen Sie zusätzliche Verfahren. Einige werden hier vorgestellt. Die Beispielaufgaben werden in den verlinkten Videos gelöst.

Lösung mithilfe der n-ten Wurzel

Bedingung: x kommt nur mit einer Potenz vor.

Beispiel: $3 x^{3} + 2 = 83$

https://vimeo.com/258954714

Lösung mithilfe des Satzes vom Nullprodukt

Bedingung: Eine Seite der Gleichung ist 0, die andere ein Produkt.

Beispiel: $(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$

https://vimeo.com/258955506

Lösung durch Ausklammern

Bedingung: Eine Seite der Gleichung ist 0, auf der anderen ist x in jedem Summanden enthalten.

Beispiel: $x^{3} + 9 x = 0$

https://vimeo.com/258955506#t=2m21s

Lösung durch Substitution

Bedingung: Alle x-Potenzen besitzen einen gemeinsamen Teiler

Beispiel: $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

https://vimeo.com/266331059

Lösung 1, 2, 3

Übung

Bestimmen Sie die Lösungsmenge durch Wurzelziehen.

$x^{3} - 64 = 0$

$x^{4} - 256 = 0$

$256 + x^{4} = 0$

Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt.

$(x + 3) (x^{3} - 8) = 0$

$x^{3} - 9 x = 0$

$x^{4} + 16 x^{2} = 0$

Bestimmen Sie die Lösungsmenge durch Substitution.

$\frac{1}{2} x^{4} + x^{2} = 1, 5$

$x^{4} - x^{2} - 2 = 0$

$x^{6} + 9 x^{3} + 8 = 0$

Notieren Sie hinter der jeweiligen Gleichung, ob sie durch (A)usklammern, (L)ösungsformel, (W)urzelziehen oder (S)ubstitution gelöst werden kann. Und bestimmen Sie die Lösungsmenge.

$x^{4} - x = 0$
$x^{2} = x$
$x^{4} + x^{2} - 20 = 0$
$x^{4} - 4 x^{2} = 0$
$x^{3} - 3 x^{2} = 0$
$x^{2} + 6 x = - 8$

$x^{4} + 256 = 0$
$x^{4} - 7 x^{3} + 10 x^{2} = 0$
$x^{3} + x = 0$
$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x = 4 x$
$x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$
$x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} = 0$

$x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$
$x^{3} - 1 = 0$
$x^{4} + 1 = 0$
$x^{4} + 3 x^{2} + 2 = 0$
$x^{3} - 4 x^{2} = 0$
$x^{4} - 2 x^{2} = 8$

Lösung 4, 5

Erklären Sie, warum folgende Gleichungen nicht mit den genannten Verfahren gelöst werden können.

$2 x^{5} - x^{3} + 2 = 0$ nicht per Substitution
$2 x^{5} - x^{3} + 2 = 0$ nicht per Ausklammern
$(x - 4) (x^{2} + 1) = - 1$ nicht per Satz vom Nullprodukt