• Polynomialgleichungen lösen
  • Simon Brückner
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 11
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Glei­chun­gen lösen

Für li­nea­re und qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen - also Glei­chun­gen ers­ten und zwei­ten Gra­des - ken­nen Sie be­reits Ver­fah­ren, um diese zu lösen. Für Glei­chun­gen hö­he­ren Gra­des be­nö­ti­gen Sie zu­sätz­li­che Ver­fah­ren. Ei­ni­ge wer­den hier vor­ge­stell­t. Die Bei­spiel­auf­ga­ben wer­den in den ver­link­ten Vi­de­os ge­löst.

Lö­sung mit­hil­fe der n-ten Wur­zel
Be­din­gung: x kommt nur mit einer Po­tenz vor.
Bei­spiel: 3x3+2=83\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 3x^3+2=83

Lö­sung mit­hil­fe des Sat­zes vom Null­pro­duk­t
Be­din­gung: Eine Seite der Glei­chung ist 0, die an­de­re ein Pro­dukt.
Bei­spiel: (x3)(x24)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (x-3)(x^2-4)=0

Lö­sung durch Aus­klam­mern
Be­din­gung: Eine Seite der Glei­chung ist 0, auf der an­de­ren ist x in jedem Sum­man­den ent­hal­ten.
Bei­spiel: x3+9x=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3+9x=0

Lö­sung durch Sub­sti­tu­ti­on
Be­din­gung: Alle x-​Potenzen be­sit­zen einen ge­mein­sa­men Tei­ler
Bei­spiel: x43x24=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-3x^2-4=0

1a) {4} b) {-4; 4} c) { } 2a) {-3; 2} b) {-3; 0; 3} c) {0} 3a) {-1; 1} b) {-1,4142; 1,4142} c) {-2; -1}

Übung

1
Be­stim­men Sie die Lö­sungs­men­ge durch Wur­zel­zie­hen.
  • x364=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3-64=0
  • x4256=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-256=0
  • 256+x4=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 256+x^4=0
2
Be­stim­men Sie die Lö­sungs­men­ge mit Aus­klam­mern und dem Satz vom Null­pro­duk­t.
  • (x+3)(x38)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (x+3)(x^3-8)=0
  • x39x=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3-9x=0
  • x4+16x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+16x^2=0
3
Be­stim­men Sie die Lö­sungs­men­ge durch Sub­sti­tu­ti­on.
  • 12x4+x2=1,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{2}x^4+x^2=1{,}5
  • x4x22=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-x^2-2=0
  • x6+9x3+8=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^6+9x^3+8=0
4
No­tie­ren Sie hin­ter der je­wei­li­gen Glei­chung, ob sie durch (A)us­klam­mern, (L)ö­sungs­for­mel, (W)ur­zel­zie­hen oder (S)ubsti­tu­ti­on ge­löst wer­den kann. Und be­stim­men Sie die Lö­sungs­men­ge.
  • x4x=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-x=0
  • x2=x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^2=x
  • x4+x220=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+x^2-20=0
  • x44x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-4x^2=0
  • x33x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3-3x^2=0
  • x2+6x=8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^2+6x=-8
  • x4+256=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+256=0
  • x47x3+10x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-7x^3+10x^2=0
  • x3+x=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3+x=0
  • x3+5x2+8x=4x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3+5x^2+8x=4x
  • x4+5x2+4=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+5x^2+4=0
  • x4+3x34x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+3x^3-4x^2=0
  • x4+7x2+12=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+7x^2+12=0
  • x31=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3-1=0
  • x4+1=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+1=0
  • x4+3x2+2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4+3x^2+2=0
  • x34x2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^3-4x^2=0
  • x42x2=8\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x^4-2x^2=8
4a) (A, W) {0; 1} g) (W) { } m) (S) { } b) (A) {0; 1} h) (A) {0; 2; 5} n) (W) {1} c) (S) {-2;2} i) (A) {0} o) (W) { } d) (A, W) {-2;0;2} j) (A, L) {-4; -1; 0} p) (S) { } e) (A) {0; 3} ...
5
Er­klä­ren Sie, warum fol­gen­de Glei­chun­gen nicht mit den ge­nann­ten Ver­fah­ren ge­löst wer­den kön­nen.
  • 2x5x3+2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2x^5-x^3+2=0 nicht per Sub­sti­tu­ti­on
  • 2x5x3+2=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2x^5-x^3+2=0 nicht per Aus­klam­mern
  • (x4)(x2+1)=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (x-4)(x^2+1)=-1 nicht per Satz vom Null­pro­duk­t