• Abstand windschiefer Geraden im Raum
  • anonym
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 12
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Unter dem Abstand versteht man die kürzeste Entfernung zwischen zwei Objekten. Der Abstand zwei Geraden lässt sich also dort bestimmen, wo die beiden Geraden möglichst dicht aneinander liegen. Heute werden wir den Abstand zwischen ihnen berechnen.

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Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h.
g: x=(011)+t(110)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g:~\vec{x}=\left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r}1\\-1\\0\end{array}\right), h: x=(986)+t(232)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h:~\vec{x}=\left(\begin{array}{r}9\\-8\\6\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r}2\\-3\\2\end{array}\right)
  • Zeichnen Sie die Situation in der GeoGebra 3D-App.
  • Überlegen Sie, welche Eigenschaften die Strecke d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d aufweist, die den Abstand der beiden Geraden g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g und h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h angibt.
  • Berechnen Sie den Abstand d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} d.
Höhen und Abstände stehen immer im rechten Winkel auf den Objekten .
Es wird ein Vektor benötigt, der auf beiden Richtungsvektoren orthogonal steht.
Den Vektor erhält man mit dem Kreuzprodukt der beiden Richungsvektoren.
Der Vektor ist (-2,-2,-1)
Ausgehend von einem beliebigen Punkt P der einen Geraden geht man in Richtung dieses Vektors bis zur anderen Geraden und erhält dort den Punkt Q.
Der Abstand von P und Q ist der Abstand der Geraden g und h.
Jeweils eine der Geraden bildet mit dem "Abstandsvektor" als Normalenvoktor eine Ebene. Die andere Gerade ist zu dieser parallel.
Mit der Ebenengleichung in HNF kann man so direkt den Abstand der beiden Geraden berechnen.