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  • Prozentrechnung
  • B.Gebauer
  • 30.06.2020
  • Weiterbildung
  • Mathematik
  • 1. Lehrjahr
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Name:
Prozentrechnung
07.03.2018

Pro­zent­rech­nung

Wozu?

  • Steu­ern (z.B. 19% Mehr­wert­steu­er)
  • In­halts­stof­fe (z.B. Jo­ghurt mit 1,8% Fett)
  • Ra­batt (z.B. 20% re­du­ziert)
  • Lö­sung mit Pro­zent­wert For­mel
  • Lö­sung im Drei­satz
Be­deu­tung

Pro­zent heißt immer "von 100"

Pro­mil­le heißt immer "von 1000"

Pro­zent­zah­len las­sen sich als Bruch oder De­zi­mal­zahl dar­stel­len und um­ge­kehrt:

1%

10%

50%

63%

100%

120%

141%

Bruch

1100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{100}

10100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{10}{100}

50100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{50}{100}

63100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{63}{100}

100100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{100}{100}

120100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{120}{100}

141100\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{141}{100}

De­zi­mal­zahl

0,01

0,10

0,50

0,63

1,00

1,20

1,41

Um­for­mung von Pro­zent­zah­len

Pro­zent­wert­for­mel

W=G⋅p100%\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{W} = \text{G} \cdot \frac{\text{p}}{100\%}
Pro­zent­wert (W)

Der Pro­zent­wert stellt einen An­teil des Grund­wer­tes dar.

G=W⋅100%p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{G} = \frac{\text{W} \cdot 100\%}{\text{p}}
p=W⋅100%G\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \text{p} = \frac{\text{W} \cdot 100\%}{\text{G}}
Pro­zent­satz (p)

Der Pro­zent­satz gibt an, wie hoch der An­teil des Pro­zent­werts ge­gen­über dem Grund­wert ist (in %).

Grund­wert (G)

Der Grund­wert ist die Basis oder das Ganze, von dem aus ge­rech­net wird.

Bei­spiel 1

Ein Jo­ghurt­be­cher mit 500g In­halt und 3,5% Fett. Wie viel Gramm Fett sind ins­ge­samt ent­hal­ten?

Lö­sung mit Pro­zent­wert­for­mel

Lö­sung mit Drei­satz

Grund­wert:

G = 500g



Pro­zent­satz:

p = 3,5%



Pro­zent­wert:

W = G ⋅p100%\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot\frac{\text{p}}{100\%}

W = 500g ⋅3,5%100%\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot\frac{3{,}5\%}{100\%} = 17,5g





100g

1g

500g

→

→

→



3,5g

0,035g

17,5g

Ant­wort: 500g Jo­ghurt mit 3,5% Fett ent­hält 17,5g Fett.

Pro­zent­rech­nung mit Drei­satz

Bei der Pro­zent­rech­nung mit Drei­satz ist der Drei­satz immer pro­por­tio­nal (je mehr, desto mehr; je we­ni­ger, desto we­ni­ger). D.h. es wer­den auf bei­den Sei­ten immer die glei­chen Re­chen­ope­ra­tio­nen ("mal" oder "ge­teilt") durch­ge­führt.

Mathematik
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Name:
Prozentrechnung
07.03.2018

Bei­spiel 2

Ina ar­bei­tet als Kell­ne­rin und ver­dient 12€ pro Stun­de. Wäh­rend der Welt­meis­ter­schaft wird ihr Lohn auf 13,20€ pro Stun­de er­höht. Wie viel Pro­zent sind das?

Lö­sung mit Pro­zent­wert­for­mel

Lö­sung mit Drei­satz

Grund­wert:

G = 12€



Pro­zent­wert:

W = 13,20€ - 12€ = 1,20€



Pro­zent­satz:

p = W⋅100%G\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{\text{W} \cdot 100\%}{\text{G}}

p = 1,20€ ⋅100%12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot \frac{100\%}{12}= 10,0%



12€

1€

1,20€

→

→

→



100%

8,3%

10,0%

Ant­wort: Ina ver­dient zur Welt­meis­ter­schaft 10,0% mehr Geld.

Bei­spiel 3

In einer Schu­le gehen im Durch­schnitt pro Tag 250 Schü­le­rin­nen und Schü­ler in die Ca­fe­te­ria. Das sind 40% aller Schü­le­rin­nen und Schü­ler an der Schu­le. Wie viele Schü­ler hat die Schu­le?

Lö­sung mit Pro­zent­wert­for­mel

Lö­sung mit Drei­satz

Pro­zent­wert:

W = 250



Pro­zent­satz:

p = 40%



Grund­wert:

G = W⋅100%p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{\text{W} \cdot 100\%}{\text{p}}

G = 250 ⋅100%40%\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot \frac{100\%}{40\%}= 625



40%

1%

100%

→

→

→



250 Schü­ler

6,25 Schü­ler

625 Schü­ler

Ant­wort: Die Schu­le hat 625 Schü­ler.

Bei­spiel 4

Ein Com­pu­ter kos­tet 399€ inkl. 19% MwSt. Wie viel kos­tet er netto?

Lö­sung mit Pro­zent­wert­for­mel

Lö­sung mit Drei­satz

Pro­zent­wert (er­wei­ter­ter Grund­wert):

W = 399€



Pro­zent­satz:

p = 119%



Grund­wert:

G = W⋅100%p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{\text{W} \cdot 100\%}{\text{p}}

G = 399 ⋅100%119%\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cdot \frac{100\%}{119\%}= 335,29€



119%

1%

100%

→

→

→



399€

3,35€

335,29€

Er­wei­ter­ter Grund­wert

Beim Rech­nen mit dem er­wei­ter­ten Grund­wert ist der Pro­zent­wert grö­ßer als der Grund­wert, da der Grund­wert um den Pro­zent­satz er­wei­tert wurde.

Ant­wort: Der Com­pu­ter kos­tet 335,29€ netto.

Mathematik
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