TitelExponentialfunktionen und ihre Graphen
AutorSimon Brückner
veröffentlicht23.04.2024
FachMathematik
Klassenstufe11

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Exponentialfunktionen und ihre Graphen

Einstieg: Der Schneeballturm

An einem schönen Wintertag beschließt eine Gruppe Kinder einen Schneeballturm zu bauen. Dazu wird immer ein Schneeball auf den anderen gesetzt. Aus Gründen der Stabilität hat jeder Ball nur den halben Durchmesser des vorherigen.
Der erste Schneeball hat einen Durchmesser von 20 cm. Angenommen die Kinder bauen (ausdauernd wie Kinder eben sind) den ganzen Tag an diesem Turm.
Können die Kinder am Abend noch über den Turm schauen?

Funktionen mit Termen der Form $a \cdot q^{x}$

Eine Funktion $f$ mit einer Funktionsgleichung $f (x) = a \cdot q^{x}$ mit $a \neq = 0$ und $q > 0$ und $q \neq = 1$ heißt Exponentialfunktion.

Ergänzen Sie jeweils die Lücken und skizzieren Sie die Graphen.

$f (x) = 1, 5 \cdot 2^{x}$
$a = 1, 5$ , $q = 2$
$f (x) = - 2 \cdot 3^{x}$
$a = - 2$ , $q = 3$
$f (x) = 1, 5 \cdot 0, 5^{x}$
$a = 1, 5$ , $q = 0, 5$
$f (x) = - 0, 5^{x} = - 1 \cdot 0, 5^{x}$
$a = - 1$ , $q = 0, 5$

Veranschaulichung:

Achilles und die Schildkröte

https://youtu.be/7SYxOhOa6VM

Alle Graphen werden nach einer Seite hin immer flacher. Man sagt sie besitzen eine (waagrechte) Asymptote.

Für $q > 1$ nähert sich der Graph seiner Asymptoten auf der Seite. Sonst nähert sich der Graph seiner Asymptoten auf der Seite.

Funktionen mit Termen der Form $a \cdot q^{x} + d$

Die gerade untersuchten Graphen können zusätzlich noch in y-Richtung verschoben werden. Im Funktionsterm passiert das, indem ein Summand $d$ am Ende ergänzt wird.

Die Gleichung einer Exponentialfunktion $f$ kann also auch folgende Form haben:

$f (x) = a \cdot q^{x} + d$ oder $f (x) = a \cdot q^{- x} + d$

Dabei gibt $d$ die Lage der Asymptote an. Der Faktor $a$ gibt an, wie man vom Punkt $P (0∣ d)$ zum y-Achsenschnittpunkt des Graphen gelangt. Deshalb ist der Y-Achsenschnittpunkt immer $Y (0∣ a + d)$ .

Die Graphen von $f (x) = a \cdot q^{x} + d$ und $g (x) = a \cdot q^{- x} + d$ unterscheiden sich nur durch Spiegelung an der y-Achse.

Graphen verschieben, strecken und spiegeln

Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch ...

... Verschiebung in y-Richtung um $d$ genau dann, wenn $g (x) = f (x) + d$ gilt.

... Streckung in y-Richtung mit Faktor $a > 0$ genau dann, wenn $g (x) = a \cdot f (x)$ gilt.

... Spiegelung an der x-Achse genau dann, wenn $g (x) = - f (x)$ gilt.

... Spiegelung an der y-Achse genau dann, wenn $g (x) = f (- x)$ gilt.

Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, deren Graph aus dem Graphen der Funktion f mit

f (x) = 2^{x}

durch folgende Veränderungen entsteht. Ordnen Sie die Graphen zu.

a) Verschiebung in y-Richtung um 2.
b) Streckung mit Faktor 0,5 in y-Richtung
und anschließende Verschiebung um eine
Einheit nach unten.
c) Spiegelung an der x- und an der y-Achse
und anschließende Verschiebung um 2
nach oben.
d) Verschiebung um 2 nach oben und
anschließende Spiegelung an der
x-Achse.

Ein Video dazu, wie man die Gleichung am Graphen ablesen kann, finden Sie hier:

vimeo.com/

414308194

vimeo.com/414308194

e-Funktionen

e-Funktion, euler'sche Zahl

Eine besondere Zahl ist die euler'sche Zahl $e$ . Es gilt $e \approx 2, 72$ .

Gleichungen der Form $f (x) = 3 e^{x} - 1$ werden in der Differenzialrechnung wichtig werden. $e$ ist also keine Variable, deren Wert bestimmt werden muss. Ob in der Gleichung $e^{x}$ oder $2^{x}$ steht, ist für die Bestimmung des Graphen im Prinzip egal.