• Exponentialfunktionen und ihre Graphen
  • Simon Brückner
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 11
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Exponentialfunktionen und ihre Graphen

Einstieg: Der Schneeballturm

An einem schönen Wintertag beschließt eine Gruppe Kinder einen Schneeballturm zu bauen. Dazu wird immer ein Schneeball auf den anderen gesetzt. Aus Gründen der Stabilität hat jeder Ball nur den halben Durchmesser des vorherigen.
Der erste Schneeball hat einen Durchmesser von 20 cm. Angenommen die Kinder bauen (ausdauernd wie Kinder eben sind) den ganzen Tag an diesem Turm.
Können die Kinder am Abend noch über den Turm schauen?

Funktionen mit Termen der Form

Eine Funktion mit einer Funktionsgleichung mit und und heißt Exponentialfunktion.

−4−3−2−11234x−4−3−2−11234yoriginOd)c)b)a)
Ergänzen Sie jeweils die Lücken und skizzieren Sie die Graphen.

  • ,

  • ,

  • ,

  • ,

Veranschaulichung:

Achilles und die Schildkröte

https://youtu.be/7SYxOhOa6VM







Alle Graphen werden nach einer Seite hin immer flacher. Man sagt sie besitzen eine (waagrechte) Asymptote.

Für nähert sich der Graph seiner Asymptoten auf der linken Seite. Sonst nähert sich der Graph seiner Asymptoten auf der rechten Seite.

Funktionen mit Termen der Form

Die gerade untersuchten Graphen können zusätzlich noch in y-Richtung verschoben werden. Im Funktionsterm passiert das, indem ein Summand am Ende ergänzt wird.

Die Gleichung einer Exponentialfunktion kann also auch folgende Form haben:

oder

Dabei gibt die Lage der Asymptote an. Der Faktor gibt an, wie man vom Punkt zum y-Achsenschnittpunkt des Graphen gelangt. Deshalb ist der Y-Achsenschnittpunkt immer .

Die Graphen von und unterscheiden sich nur durch Spiegelung an der y-Achse.

xyoriginOay=df
Graphen verschieben, strecken und spiegeln

Der Graph von entsteht aus dem Graphen von durch ...

... Verschiebung in y-Richtung um genau dann, wenn gilt.

... Streckung in y-Richtung mit Faktor genau dann, wenn gilt.

... Spiegelung an der x-Achse genau dann, wenn gilt.

... Spiegelung an der y-Achse genau dann, wenn gilt.

1
Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, deren Graph aus dem Graphen der Funktion f mit f(x)=2˟ durch folgende Veränderungen entsteht. Ordnen Sie die Graphen zu.
g(x)=-2˟-2
g(x)=-2⁻˟+2
g(x)=0,5·2˟-1
g(x)=2˟+2
  • a) Verschiebung in y-Richtung um 2.
    g(x)=2˟+2
  • b) Streckung mit Faktor 0,5 in y-Richtung und
    anschließende Verschiebung um eine Einheit
    nach unten. g(x)=0,5·2˟-1
  • c) Spiegelung an der x- und an der y-Achse und
    anschließende Verschiebung um 2 nach oben.
    g(x)=-2⁻˟+2
  • d) Verschiebung um 2 nach oben und anschließende
    Spiegelung an der x-Achse. g(x)=-2˟-2
−4−22x−4−22yoriginOf(x)=2˟d)c)b)a)

Ein Video dazu, wie man die Gleichung am Graphen ablesen kann, finden Sie hier:

vimeo.com/          

414308194          





e-Funktionen

e-Funktion, euler'sche Zahl

Eine besondere Zahl ist die euler'sche Zahl . Es gilt .

Gleichungen der Form werden in der Differenzialrechnung wichtig werden. ist also keine Variable, deren Wert bestimmt werden muss. Ob in der Gleichung oder steht, ist für die Bestimmung des Graphen im Prinzip egal.

2
Bringen Sie die Veränderungen in die richtige Reihenfolge. Notieren Sie die zu den Graphen gehörigen Funktionsgleichung jeweils darunter.
  • B Verschiebung in y-Richtung
  • A Streckung in y-Richtung
  • C Spiegelung an der y-Achse

f(x)=e˟

f(x)=3e˟

f(x)=3e˟+1

f(x)=3e⁻˟+1

3
Die nebenstehenden Graphen gehören zu Funktionen mit Termen der Form . Ergänzen Sie die Lücken.
  • f: Asymptote y=2, Streckfaktor a=-3, Annährung an Asymptote nach links. f(x)=-3e˟+2
  • g(x)=2e⁻ˣ+1
  • h(x)=e˟-2
4
Experten-Bonus: Abgebildet sind die Graphen der Funktionen f mit und g mit .
Der Graph von g besitzt eine so-
genannte schiefe Asymptote.
Erklären Sie, wie es dazu kommt.
In beiden Fällen fällt der Summand 2e˟ umso weniger ins Gewicht, je kleiner x ist. Übrig bleibt jeweils der Teil, der zu einer Geraden gehört.
x