• Vektoren addieren und subtrahieren
  • Konstantin.Kowalski
  • 30.06.2020
  • Physik
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Vek­to­ren (Sin­gu­lar: der Vek­tor) sind eine spe­zi­el­le Art von Zah­len. Her­kömm­li­che Zah­len (sog. Ska­la­re) sind durch einen Wert (und ggf. durch eine phy­si­ka­li­sche Ein­heit) voll­stän­dig be­schrie­ben. Die Tem­pe­ra­tur be­sitzt z.B. den Wert 27°C oder -5°C.

Um einen Vek­tor voll­stän­dig zu be­schrei­ben ist zu­sätz­lich noch eine Rich­tung nötig. Vek­to­ri­el­le Grö­ßen in der Phy­sik sind z.B. die Ge­schwin­dig­keit, die Kraft oder die Be­schleu­ni­gung. Ohne eine Rich­tung sind diese Grö­ßen gar nicht vor­stell­bar (es sei denn, sie haben zu­fäl­lig den Wert 0).

Eine Kraft wird also durch einen Zah­len­wert (mit phy­si­ka­li­scher Ein­heit) und eine Rich­tung be­schrie­ben.

Die Erd­an­zie­hungs­kraft wirkt z.B. immer in Rich­tung des Erd­mit­tel­punk­tes, also senk­recht nach unten.

Vek­to­ri­el­le Grö­ßen kön­nen zeich­ne­risch durch Pfei­le dar­ge­stellt wer­den. Dabei wird die Länge des Pfeils pro­por­tio­nal zum Wert der Größe ge­zeich­net; die Rich­tung des Pfeils ent­spricht der Rich­tung des Vek­tors.

Um vek­to­ri­el­le Grö­ßen zu ad­die­ren gibt es Re­chen­vor­schrif­ten, die bei­na­he in­tui­tiv sind. In den fol­gen­den Bei­spie­len sol­len auf die Kör­per je­weils ver­schie­de­ne Kräf­te ein­wir­ken.

A: Nur die Gravitationskraft wirkt und beschleunigt die Kugel. B: Eine Tischplatte übt eine Gegenkraft auf die Kugel aus. Gravitationskraft und Gegenkraft sind gleich groß aber entgegengesetzt, sie heben sich auf, die Kugel bleibt in Ruhe. C: zusätzlich wird an der Kugel gezogen, die Kugel beschleunigt zur Seite.

Um die re­sul­tie­ren­de Kraft auf einen Kör­per zu er­mit­teln müs­sen alle Kräf­te, die auf einen Kör­per wir­ken ad­diert wer­den. Bei der Kugel A ist das tri­vi­al, da nur eine Kraft wirkt. Bei Kugel B heben sich die Gra­vi­ta­ti­ons­kraft und die Ge­gen­kraft der Tisch­plat­te ge­gen­sei­tig auf da sie gleich groß sind und genau in ent­ge­gen­ge­setz­te Rich­tun­gen wir­ken. Auf die Kugel C wirkt noch eine wei­te­re Kraft. Da sich auch hier die Gra­vi­ta­ti­ons­kraft und die Kraft der Tisch­plat­te ge­gen­sei­tig auf­he­ben wirkt nur die Kraft, die die Kugel zur Seite be­schleu­nigt.

Für den nicht tri­via­len Fall, dass zwei Kräf­te auf einen Kör­per wir­ken, die sich nicht ge­gen­sei­tig auf­he­ben, kann man diese eben­falls ad­die­ren. Dazu ver­schiebt man die Vek­to­ren so, dass je­weils ein Pfeil­an­fang an der Spit­ze eines an­de­ren Vek­tors liegt. Es er­gibt sich eine "Kette" meh­re­rer Vek­to­ren. Die Vek­tor­sum­me ist dann der Vek­tor vom Pfeil­an­fang des ers­ten Vek­tors in der Kette zur Pfeil­spit­ze des letz­ten Vek­tors. Die Rei­hen­fol­ge der Ver­ket­tung ist hier­bei üb­ri­gens frei wähl­bar, das Er­geb­nis ist stets das glei­che.

Fünf Vektoren (z.B. Kräfte die auf einen Körper wirken) werden addiert. Dazu werden die Vektoren so verschoben, dass jeweils ein Pfeilanfang an der Spitze des vorherigen Pfeils liegt. Die Summe ist der Vektor vom Anfang des ersten Vektors zum Ende des letzten Vektors (im Bild schwarz gestrichelt).

Vek­to­ren las­sen sich zeich­ne­risch ad­die­ren. Eine ele­gan­te­re Me­tho­de ist es je­doch, sie geo­me­trisch zu ad­die­ren. Dabei wer­den die Vek­to­ren als Sei­ten eines Drei­eckes be­han­delt.

Wenn die bei­den Vek­to­ren zu­fäl­lig im rech­ten Win­kel zu­ein­an­der ste­hen, kann die Summe ein­fach mit Hilfe des Satz' des Py­tha­go­ras er­mit­telt wer­den.

F12+F22=Fr2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F_1^2 + F_2^2 = F_r^2

Sind die Vek­to­ren nicht recht­win­ke­lig zu­ein­an­der aus­ge­rich­tet, kann man einen der bei­den Vek­to­ren in so­ge­nann­te Kom­po­nen­ten zer­le­gen.

Eine Kom­po­nen­te ist dabei par­al­lel zum ers­ten Vek­tor, die an­de­re Kom­po­nen­te steht dann im rech­ten Win­kel zum ers­ten Vek­tor. Diese las­sen sich nun wie­der mit dem Satz des Py­tha­go­ras ad­die­ren.

Einen Vek­tor in Kom­po­nen­ten zu zer­le­gen ist etwa die Um­keh­rung der Vek­tor­ad­di­ti­on. Wer­den die Kom­po­nen­ten eines Vek­tors ad­diert, so er­gibt sich wie­der der ur­sprüng­li­che Vek­tor. Ein Vek­tor kann mit Hilfe der Tri­go­no­me­trie in Kom­po­nen­ten zer­legt wer­den. Die Kom­po­nen­ten kön­nen prin­zi­pi­ell be­lie­big ge­legt wer­den, nur muss die Summe wie­der den ur­sprüng­li­chen Vek­tor er­ge­ben. Es bie­tet sich an, die Kom­po­nen­ten so zu legen, dass die Be­rech­nung mög­lichst ein­fach wird.

        sin α=F1rF1      F1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ sin ~\alpha = \frac{F _{1r}}{F_1} ~ ~ ~ ~ ~ ~ | \cdot {F_1}
        cos α=F1pF1      F1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ cos ~\alpha = \frac{F _{1p}}{F_1} ~ ~ ~ ~ ~ ~ | \cdot {F_1}
F1sin α = F1r\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} {F_1} \cdot sin ~ \alpha ~ = ~ {F _{1r}}
F1cos α = F1p\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} {F_1} \cdot cos ~ \alpha ~ = ~ {F _{1p}}
F1r2+(F2+F1p)2=Fr2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F_{1r}^2 + (F_2+F_{1p})^2 = F_r^2