• Potenz- und Polynomfunktionen
  • Simon Brückner
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 11
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Potenz- und Polynomfunktionen

Grad und Koeffizienten

Definitionen

Eine Funktion f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f, deren Gleichung in der Form f(x)=axn\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a \cdot x^n geschrieben werden kann, heißt Potenzfunktion vom Grad n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} n mit Leitkoeffizient a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a.

Eine Polynomfunktion f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f ist eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen dargestellt werden kann: f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0

Die Werte an,an1,,a0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a_n, a_{n-1}, \dots , a_0 heißen Koeffizienten. Dabei heißt an\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a_n0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 0 Leitkoeffizient und a0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a_0 heißt Absolutglied. Der Grad von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f ist n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} n.

1
Ergänzen Sie die Tabelle!

Gleichung

Potenz-funktion?
(ja/nein)

Polynom-funktion?
(ja/nein)

Grad

Koeffizienten
(Leitk.,...,Absolutgl.)

f(x)=4x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=4x^3

ja

ja

3

4; 0

g(x)=2x4+x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)=-2x^4+x^2

nein

ja

4

-2; 1; 0

h(x)=x3+3x4+2,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h(x)=-x^3+3x^4+2{,}5

nein

ja

4

3; -1; 2,5

j(x)=2(x1)2(x+2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} j(x)=2(x-1)^2(x+2)
=2x^3-6x+4

nein

ja

3

2; -6; 4

2
Ordnen Sie die obenstehenden Gleichungen den abgebildeten Graphen zu! Begründen Sie Ihre Zuordnung durch Verweis auf Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied.

j

f

g

h

Verhalten im Unendlichen

Tipp

Das Verhalten im Unendlichen lässt sich anhand des Grades n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} n und des Leitko-effizienten an\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a_n ablesen.

3
Geben Sie das Verhalten im Unendlichen an!
  • f(x)=2x2+3x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^2+3x-1
  • f(x)=x54x4+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-x^5-4x^4+2
  • f(x)=3x31\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=3x^3-1
  • f(x)=4x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-4x^2
  • f(x)=(x3)(x+1)(x4)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x-3)(x+1)(x-4)
a) f(x)→∞ für x→-∞; f(x)→∞ für x→∞ b) f(x)→∞ für x→-∞; f(x)→-∞ für x→∞ c) f(x)→-∞ für x→-∞; f(x)→∞ für x→∞ d) f(x)→-∞ für x→-∞; f(x)→-∞ für x→∞ e) f(x)=x³+..., also f(x)→-∞ für x→-∞; ...

Symmetrie

Symmetrie

Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit geradem Grad aufgefasst werden kann, heißt gerade. Ihr Graph ist dann achsensymmetrisch zur y-Achse.
Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit ungeradem Grad aufgefasst werden kann, heißt ungerade. Ihr Graph ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.

4
Welche der folgenden Funktionen sind gerade, welche ungerade?
  • f(x)=2x3x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^3-x ungerade
  • f(x)=x(2x3x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x(2x^3-x) =2x4-x2 gerade
  • f(x)=x64x2+1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^6-4x^2+1 gerade
  • f(x)=2x3x+4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2x^3-x+4 weder noch
5
Ordnen Sie die Gleichungen den Graphen zu.
Bestimmen Sie fehlenden Parameter mithilfe des Graphen.
  • f(x)=2x+2x²+a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) = -2x⁴ + 2x² + a K_2; a=1.5
  • g(x)=x+xb\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x) = -x⁴ + x - b K_1; 1
  • h(x)=x42x2+cx+d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h(x)=x^4-2x^2+cx+d K_3; c=0; d=1