TitelPotenz- und Polynomfunktionen
AutorSimon Brückner
veröffentlicht30.06.2020
FachMathematik
Klassenstufe11

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Potenz- und Polynomfunktionen

Grad und Koeffizienten

Definitionen

Eine Funktion $f$ , deren Gleichung in der Form $f (x) = a \cdot x^{n}$ geschrieben werden kann, heißt Potenzfunktion vom Grad $n$ mit Leitkoeffizient $a$ .

Eine Polynomfunktion $f$ ist eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen dargestellt werden kann: $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

Die Werte $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ heißen Koeffizienten. Dabei heißt $a_{n}$ ≠ $0$ Leitkoeffizient und $a_{0}$ heißt Absolutglied. Der Grad von $f$ ist $n$ .

Ergänzen Sie die Tabelle!

Gleichung	Potenz-funktion? (ja/nein)	Polynom-funktion? (ja/nein)	Grad	Koeffizienten (Leitk.,...,Absolutgl.)
$f (x) = 4 x^{3}$
$g (x) = - 2 x^{4} + x^{2}$
$h (x) = - x^{3} + 3 x^{4} + 2, 5$
$j (x) = 2 (x - 1)^{2} (x + 2)$

Ordnen Sie die obenstehenden Gleichungen den abgebildeten Graphen zu! Begründen Sie Ihre Zuordnung durch Verweis auf Grad, Leitkoeffizient und Absolutglied.

Verhalten im Unendlichen

Tipp

Das Verhalten im Unendlichen lässt sich anhand des Grades $n$ und des Leitko-effizienten $a_{n}$ ablesen.

Geben Sie das Verhalten im Unendlichen an!

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$
$f (x) = - x^{5} - 4 x^{4} + 2$
$f (x) = 3 x^{3} - 1$
$f (x) = - 4 x^{2}$
$f (x) = (x - 3) (x + 1) (x - 4)$

Lösung

Symmetrie

Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit geradem Grad aufgefasst werden kann, heißt gerade. Ihr Graph ist dann achsensymmetrisch zur y-Achse.

Eine Polynomfunktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit ungeradem Grad aufgefasst werden kann, heißt ungerade. Ihr Graph ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung.

Welche der folgenden Funktionen sind gerade, welche ungerade?

$f (x) = 2 x^{3} - x$
$f (x) = x (2 x^{3} - x)$
$f (x) = x^{6} - 4 x^{2} + 1$
$f (x) = 2 x^{3} - x + 4$

Ordnen Sie die Gleichungen den Graphen zu.
Bestimmen Sie fehlenden Parameter mithilfe des Graphen.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x^{2} + a$
$g (x) = - x^{4} + x - b$
$h (x) = x^{4} - 2 x^{2} + c x + d$