De­fi­ni­ti­on: Das Po­ten­zie­ren von Zah­len, be­schreibt einen Vor­gang bei dem man den Ba­sis­wert so oft mit sich selbst mul­ti­pli­ziert wie die Hoch­zahl (der Ex­po­nent) es vor­gibt.

Die Um­kehr­ope­ra­ti­on des Po­ten­zie­rens ist das Wur­zel­zie­hen.

Po­tenz­ge­set­ze:

1. Jede Po­tenz mit dem Ex­po­nent 0 er­gibt 1



 1^{0 = 1, 7}0 = 1, 187^0 = 1



2. Jede Po­tenz mit dem Ex­po­nent 1 er­gibt den Wert der Basis



 1^{1 = 1, 7}1 = 7, 187^1 = 187



3.Ad­di­ti­on/Sub­trak­ti­on von Po­ten­zen

 Po­ten­zen kön­nen dann ad­diert oder sub­tra­hiert wer­den,

 wenn so­wohl die Basen als auch die Ex­po­nen­ten über­ein­stim­men.



  x^{n + x}n = 2x^{n  x}n - x^n = 0

  Bei­spiel: 5a² + 2b² - (3b + 2a² - b²) = 3a² + 3b² - 3b



4. Mul­ti­pli­ka­ti­on von Po­ten­zen

I. Po­ten­zen mit glei­cher Basis wer­den mul­ti­pli­ziert, indem ihre Ex­po­nen­ten ad­diert wer­den.



 x^{m * x}f = x^{m+f
 Bei­spiel: 3² * 3³ = 3}5



II. Po­ten­zen mit glei­chem Ex­po­nent wer­den mul­ti­pli­ziert, indem die Basen mul­ti­pli­ziert wer­den.



 x^{f * y}f  = (xy)^f

 Bei­spiel: 3² * 7² = 21²



5. Di­vi­die­ren von Po­ten­zen

I. Po­ten­zen mit glei­cher Basis wer­den di­vi­diert, indem ihre Ex­po­nen­ten sub­tra­hiert wer­den.



 x^{f : x}n = x^{f-n
 Bei­spiel: 3³ / 3² = 3}3-2



II. Po­ten­zen mit glei­chem Ex­po­nen­ten wer­den di­vi­diert,indem man die Basen di­vi­diert und den                       Ex­po­nent bei­be­hält.



  x^{f : y}f = (x:y)^f

  Bei­spiel: 2² / 4² = (2:4)²



6. Po­ten­zie­ren von Po­ten­zen

Po­ten­zen wer­den po­ten­ziert, indem alle Ex­po­nen­ten mul­ti­pli­ziert wer­den.



  (xⁿ⁾f = x^{n*f
  Bei­spiel: (3²)³ = 3}2*3



7. Ne­ga­ti­ve Po­ten­zen

Po­ten­zen mit ne­ga­ti­vem Ex­po­nent wer­den er­mit­telt, indem die Po­tenz in einen Bruch ge­setzt wird.  Dabei kommt die Po­tenz an die Stel­le des Nen­ners und der Zäh­ler be­trägt 1 (Stamm­bruch).



  x^{-f = 1/x}f

  Bei­spiel: 3^-2 = 1/3² = 1/9















8.Po­ten­zen mit Bruch als Ex­po­nent

Po­ten­zen wel­che einen Bruch im Ex­po­nen­ten ste­hen haben wer­den er­mit­telt, indem die Basis hoch dem Zäh­ler ge­nom­men wird und dann die n-te Wur­zel dar­aus ge­zo­gen wird, wel­che be­stimmt wird durch den Nen­ner des Bruchs.



x^{m/n = n√x}m

Bei­spiel: 4^2/3 = 3√4²



Po­ten­zen mit gro­ßen & klei­nen Zah­len

Große und klei­ne Zah­len wer­den mit­hil­fe von Zeh­ner­po­ten­zen dar­ge­stellt. Der Ge­dan­ke dabei ist, die Zahl durch Ver­schie­bung des Kom­mas und gleich­zei­ti­ge Mul­ti­pli­ka­ti­on einer 10 mit ent­spre­chen­der Po­tenz kür­zer dar­zu­stel­len.

1.Große Zah­len

Sehr große Zah­len wer­den po­ten­ziert indem das Komma um so viele Stel­len nach links ver­scho­ben wird, wie der Ex­po­nent groß ist.



198200000 = 1,982 * 10^8



2. Klei­ne Zah­len

Sehr klei­ne Zah­len wer­den po­ten­ziert indem das Komma um so viele Stel­len nach rechts ver­scho­ben wird, wie der Ex­po­nent groß ist. Dabei muss der Ex­po­nent ne­ga­tiv sein.



0,00001982 = 1,982 * 10^-5





Übung

Haus­auf­ga­be

1. Drei See­ro­sen in einem Teich wach­sen so, dass sich ihre Menge täg­lich ver­dop­pelt. Wie viele See­ro­sen be­fin­den sich nach einer Woche im Teich?



2. Setze , oder = ein!

a) 2³   3²       b) 3^{4   4}3     c) 5^{2   2}5

d) 2^{4   4}2    e) 3^{0   4}0   f) 5^{3   3}5



3. Trage die rich­ti­gen Ex­po­nen­ten ein!  

 a) 729 = 3      ^{b)0,064 = 0,4}







Quel­len:http://www.ma­the­ma­trix.de/potenz-​definition/

https://www.formelsammlung-​mathe.de/po­ten­zen.html

https://www.goog­le.de/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahU­KE­wi73NWAu9rXAhVQJOwKHd5IBJM­QjR­wIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.mathe-​online.at%2Flern­pfa­de%2F101206_Lern­pfad_Po­ten­zen%2F%3Fka­pi­tel%3D1&psig=AOv­Vaw3nlBOm85KybloUuJK-​OeUE&ust=1511714898147720 https://www.auf­ga­ben­fuchs.de/ma­the­ma­tik/po­tenz/po­tenz.shtml