TitelArbeitsmaterial: Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
AutorChristian Siegel
veröffentlicht02.12.2024

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Arbeitsmaterial: Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

Untersuche in Geogebra die gegebene, unbekannte Funktion

f (x)

.
Finde hinter der Blackbox heraus, ob der rechtsseitige und linkseitige Grenzwert für

x = 2

existieren, indem du dich mittels des Schiebereglers an die Stelle annäherst und die Entwicklung des Funktionswertes beobachtest.

- Linksseitiger Grenzwert

https://www.geogebra.org/m/hg4jqw5u

- Rechtsseitiger Grenzwert

Definition: Sei $f : D \to R$ eine Funktion. $f$ ist an einer Stelle $x_{0} \in D$ stetig, wenn gilt: $x \to x_{0} lim f (x)$ ⁡ existiert und es ist $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ ⁡. Wir nennen $f$ stetig, wenn $f$ an allen Stellen stetig ist.

Entscheide:

Nach dieser Definition ist der Graph aus Aufgabe 3 stetig / nicht stetig. Begründe.

Die Tabelle gibt aktuelle Kosten für Pakete bei DHL an. Runde die Preise passend und trage sie in das Koordinatensystem ein.

Entscheide: Die Funktion Preis(m) ist stetig / nicht stetig.
Gib den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert für m=2kg an.
Überlege, welche Aussagen jeweils inhaltlich und mathematisch über den links- und rechtsseitigen Grenzwert für m=0kg getroffen werden können.
Finde weitere Beispiele für ähnliche unstetige Funktionen.

Gegeben sind die abschnittsweise definierten Funktionen

f

und

g

Bestimme $k$ so, dass $f$ an der Abschnittsgrenze $x_{0}$ stetig ist.
Berechne, welche Beziehung zwischen $a$ und $b$ gelten muss, damit $g$ stetig bei $x_{0}$ ist.

f (x) = {\frac{1}{2} k^{2} x - 1, 2 + k x, x \leq 2 x > 2

g (x) = {a (x - 3)^{2}, 2 b - x, x \leq 2 x > 2

Aufgabe aus: Bigalke/Köhler. Cornelsen. Mathematik. Analysis. Band 1.

In ein Koordinatensystem (1LE

\overset{=}{^}

1cm) ist ein Streckenzug eingezeichnet. Die Funktion

A (x)

ordnet jeder Zahl

x \in R

mit

x \geq 0

den Inhalt der schraffierten Fläche in Quadratzentimetern zu.

Gib die Werte $A (0), A (1), A (2), A (3)$
und $A (4)$ an.
Trage die Punkte in das untenstehende
Koordinatensystem.
Argumentiere, ob die Funktion $A (x)$
an der Stelle $x_{0} = 2$ stetig ist.
Skizziere den Graphen $A (x) .$
Gib eine abschnittsweise definierte
Funktionsgleichung für die Funktion an.

Aufgabe adaptiert aus: Lambacher Schweizer 11/12