• Mehrstufige Zufallsexperimente
  • anonym
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 10
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Von Er­geb­nis­sen und Er­eig­nis­sen


Ein Beu­tel ent­hält zwei rote und fünf blaue Ku­geln. Es wer­den blind zwei Ku­geln mit zu­rück­le­gen ent­nom­men.

Er­geb­nis­men­ge

Die Er­geb­nis­men­ge S eines mehr­stu­fi­gen Zu­falls­expe­ri­ments be­steht aus allen mög­li­chen oder ge­such­ten Er­geb­nis­sen.

1
Schrei­be alle mög­li­chen Er­geb­nis­se des ab­ge­bil­de­ten Ex­pe­ri­ments auf!

Er­geb­nis­men­ge S = {
Er­eig­nis­se

Teil­men­gen von Er­geb­nis­men­gen nennt man Er­eig­nis­se.

2
Schrei­be alle Er­geb­nis­se auf, die zum Er­eig­nis A Min­des­tens eine Farbe ist rot ge­hö­ren!

Er­eig­nis A = {
3
Er­gän­ze im oben dar­ge­stell­ten Baum­dia­gram­m die Wahr­schein­lich­kei­ten an den je­wei­li­gen Pfa­den!
Pfad­re­gel

Die Wahr­schein­lich­keit für ein Er­geb­nis eines mehr­stu­fi­gen Zu­falls­expe­ri­ments er­hält man, indem man die Wahr­schein­lich­kei­ten längs des zu­ge­hö­ri­gen Pfa­des mul­ti­pli­ziert.

4
Be­rech­ne mit Hilfe der Pfad­re­gel die Wahr­schein­lich­kei­ten für alle Er­geb­nis­se!

  • P (rr) =

  • P (br) =

  • P (rb) =

  • P (bb) =
5
Be­rech­ne mit Hilfe der Sum­men­re­gel die Wahr­schein­lich­kei­ten für die fol­gen­den Er­eig­nis­se:

  • Er­eig­nis A Min­des­tens eine Farbe ist rot
    P (A) =

  • Er­eig­nis B Die ge­zo­ge­nen Far­ben sind gleich
    P (B) =
Sum­men­re­gel

Die Wahr­schein­lich­keit P (E) eines Er­eig­nis­ses E er­hält man, indem man die Wahr­schein­lich­kei­ten der zu­ge­hö­ri­gen Er­geb­nis­se ad­diert.

  • Er­eig­nis C "Die erste Farbe ist blau"

       

       P (C) =

Ge­gen­er­eig­nis­

Je nach Auf­ga­ben­stel­lung kann es leich­ter sein, zu­nächst die Wahr­schein­lich­keit des Gegen-​ereignisses zu be­stim­men. Es gilt:

6
Be­rech­ne mit Hilfe des Gegen-​ereignisses die Wahr­schein­lich­keit für die fol­gen­den Er­eig­nis­se:

  • Er­eig­nis D Min­des­tens eine Farbe ist blau
    P (D) =

  • Er­eig­nis E Die ge­zo­ge­nen Far­ben sind un­ter­schied­lich
    P (E) =
P(A)+P(Aˉ)=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (A) +P (\bar{A}) = 1
P(A)=1P(Aˉ)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (A) = 1 - P (\bar{A})
7
Be­rech­ne fol­gen­de Wahr­schein­lich­kei­ten:




Men­gen­schreib­wei­se

Wenn bei einem Ex­pe­ri­ment etwa so­wohl das Er­eig­nis A als auch das Er­eig­nis B ein­tre­ten, so

schreib­t man hier­für auch:

P(AB)=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (A\cap B) =
AB\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A\cap B
P(AB)=\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} P (A\cap B) =

(*) So­lan­ge es kei­ner merkt...spi­cken in Ma­the­ma­tik in EF-​Kurs weit ver­brei­tet!

Eine an­ony­me Um­fra­ge "Hast du schon ein­mal bei einer Klau­sur/Klas­sen­ar­beit ge­spick­t?" in einem Kurs der Jahr­gangs­stu­fe EF lie­fer­te in­ter­es­san­te Neu­ig­kei­ten.

  • Ver­voll­stän­di­ge die feh­len­den Werte des Baum­dia­gram­mes rechts.

  • Ver­voll­stän­di­ge die feh­len­den Werte der Vier­fel­der­ta­fel mit Hilfe des Baum­dia­gram­mes. Der er­wähn­te Kurs be­stan­d aus 30 Schü­le­rin­nen und Schü­lern.

25\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{2}{5}
34\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{3}{4}
13\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{3}
110\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{10}
  • Um wel­che Schü­le­rin­nen und Schü­ler han­del­t es sich bei der

       fol­gen­den Teil­men­gen?

MSˉ\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} M\cap \bar{S}
  • Krei­se das zu jener Teil­men­ge ge­hö­ren­de Feld im Baum­dia­gram­m und in der Vier­fel­der­ta­fel ein.