• Graphen von Exponentialfunktionen
  • Simon Brückner
  • 26.08.2020
  • Mathematik
  • 11
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Zusammenfassung: Graphen von Exponentialfunktionen

Waagrechte Asymptoten

Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x)=2x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2^x. Für einzelne Funktions-werte ergibt sich folgende Tabelle:

x

-10

-5

-2

-1

0

1

f(x)

11024\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{1024}}

132\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{32}}

14\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{4}}

12\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small\textstyle\frac{1}{2}}

1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{1}

2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{2}

Wird x um 1 kleiner, so sich der Funktionswert jeweils. Deshalb näher sich der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow -\infty der Geraden mit Gleichung , berührt sie aber nie. Diese Gerade ist die Asymptote des Graphen.

Auf welcher Seite wird sich der Asymptote genähert?

f1(x)=3x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f_1(x)=3^x
f2(x)=0.5x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f_2(x)=0.5^x
f3(x)=ex\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f_3(x)=e^x
f4(x)=ex\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f_4(x)=e^{-x}

Für Funktionen der Form f(x)=px\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=p^x gilt:
Ist p>1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} p>1, so nehmen die Funktionswerte für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow\cloze{\small-\infty} ab. Der Graph nähert sich der Asymptote also auf der Seite. Sonst nehmen die Funktionswerte für x+\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow\cloze{\small+\infty} ab. Der Graph nähert sich der Asymptote also auf der Seite.
Für Funktionen der Form f(x)=ekx\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=e^{kx} folgt daraus nach den Potenzgesetzen:
Der Graph nähert sich der Asymptoten für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow -\infty, wenn k>0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small k>0} ist, und für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow\infty sonst.

Graphen von Funktionen der Form f(x)=ae±x+d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot e^{\pm x}+d

Der Graph der Funktion f mit f(x)=aex+d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot e^ x+d besitzt die Asymptote mit der Gleichung y=d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=d. Er schneidet die y-Achse im Punkt Y(0a+d)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(0|a+d).
Er nähert sich seiner Asymptoten für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow -\infty an.

Der Graph der Funktion f mit f(x)=aex+d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot e^ {-x}+d besitzt die Asymptote mit der Gleichung y=d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=d. Er schneidet die y-Achse im Punkt Y(0a+d)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(0|a+d).
Er nähert sich seiner Asymptoten für x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\rightarrow \infty an.

f(x)=2ex+1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2e^x+1

1
Die abgebildeten Graphen gehören jeweils zu einer Funktion f mit f(x)=ae±x+d\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot e^{\pm x}+d. Geben Sie jeweils den y-Achsenschnittpunkt Y\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y, die Gleichung der Asymptoten und die Funktionsgleichung an.
  • Y(03)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small3}), Asymptote y=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=\cloze{\small2}
    a=32=1;d=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small3-2=1}; d=\cloze{\small2}
    f(x)=1e+x+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small1}e^{\cloze{\small+}x}\cloze{\small+2}
  • Y(03,5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small3{,}5}), Asymptote y=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=\cloze{\small2}
    a=3,52=1,5;d=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small3{,}5-2=1{,}5}; d=\cloze{\small2}
    f(x)=1,5ex+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small1{,}5}e^{\cloze{\small-}x}\cloze{\small+2}
  • Y(00,5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small0{,}5}), Asymptote y=1,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=\cloze{\small1{,}5}
    a=0,51,5=1;d=1,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small0{,}5-1{,}5=-1}; d=\cloze{\small1{,}5}
    f(x)=e+x+1,5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small-}e^{\cloze{\small+}x}\cloze{\small+1{,}5}
  • Y(01,5)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small1{,}5}), Asymptote y=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=\cloze{\small-1}
    a=1,5(1)=2,5;d=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small1{,}5-(-1)=2{,}5}; d=\cloze{\small-1} f(x)=2,5ex1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small2{,}5}e^{\cloze{\small-}x}\cloze{\small-1}
  • Y(00)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} Y(\cloze{\small0}|\cloze{\small0}), Asymptote y=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} y=\cloze{\small-2}
    a=0(2)=2;d=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow a=\cloze{\small0-(-2)=2}; d=\cloze{\small-2} f(x)=2e+x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow f(x)=\cloze{\small2}e^{\cloze{\small+}x}\cloze{\small-2}
2
Abgebildet sind die Graphen der Funktionen f mit f(x)=2ex1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2e^x-1 und g mit g(x)=2ex0,5x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)=2e^x-0{,}5x-1.
Der Graph von g besitzt eine sogenannte schiefe Asymptote. Erklären Sie, wie es dazu kommt.