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  • Dreisatz - Einfacher, Erweiterter, Unterbrochener
  • anonym
  • 30.06.2020
  • Wirtschaft
  • 7
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Name:
Dreisatz - Einfacher, Erweiterter, Unterbrochener
16.02.2018

Der ein­fa­che Drei­satz

Mit dem ein­fa­chen Drei­satz las­sen sich aus drei Wer­ten ein vier­ter, un­be­kann­ter, Wert er­rech­nen. Der Drei­satz setzt dabei die Zah­len ins Ver­hält­nis zu­ein­an­der.



Man un­ter­schei­det zwi­schen:



Pro­por­ti­o­na­lem Drei­satz

Werte wer­den ein einem be­stimm­ten Ver­hält­nis grö­ßer oder klei­ner.

z.B. Je mehr Oran­gen man aus­presst, desto mehr Saft er­hält man.



und



An­ti­pro­por­ti­o­na­lem Drei­satz

Ein Wert nimmt zu, der an­de­re Wert ab.

z.B. Je mehr Pum­pen ein Be­cken voll­pum­pen, desto we­ni­ger Zeit wird für das Fül­len be­nö­tigt.

Lö­sung eines pro­por­ti­o­na­len Drei­sat­zes

Aus 6 Kilo Oran­gen kön­nen 1,5 Liter Saft ge­presst wer­den. Wie­viel Saft er­hält man aus 14 Kilo Oran­gen?

Lö­sung:

1. Zu­erst wer­den die be­kann­ten Grö­ßen ins Ver­hält­nis ge­setzt
2. Dann rech­net man auf die Ein­heit 1 her­un­ter in dem man beide Sei­ten mit der glei­chen Zahl di­vi­diert.
3. Schließ­lich mul­ti­pli­ziert man mit der ge­such­ten Zahl.

Oran­gen in Kg

=

Saft in Li­tern

6

≙

1,5

: 6

1

≙

0,25

: 6

* 14

14

≙

3,5

* 14

Ant­wort: Aus 14 Kilo Oran­gen las­sen sich 3,5 Liter Saft pres­sen.

An­satz und Schreib­wei­se als Bruch

6 ≙ 1,5

14 ≙ X

Be­rech­nung über Kreuz:

Re­chen­weg

Beim pro­por­ti­o­na­len Drei­satz wird immer über Kreuz ge­rech­net.

Die Zahl über X steht immer oben auf dem Bruch­strich.

Wirtschaft
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Dreisatz - Einfacher, Erweiterter, Unterbrochener
16.02.2018

Lö­sung eines an­ti­pro­por­ti­o­na­len Drei­sat­zes

8 Pum­pen fül­len ein Schwimm­be­cken in 3,5 Stun­den. Da der­zeit 3 Pum­pen be­schä­digt sind, kön­nen nur 5 Pum­pen ein­ge­setzt wer­den. Wie lange be­nö­ti­gen sie für die Fül­lung des Be­ckens?

Lö­sung:

1. Zu­erst wer­den die be­kann­ten Grö­ßen ins Ver­hält­nis ge­setzt
2. Dann auf 1 her­un­ter­grech­net in dem die eine Seite di­vi­diert und die an­de­re mul­ti­pli­ziert wird.
3. Schließ­lich mu­lit­pli­ziert und di­vi­diert man mit der ge­such­ten Zahl.

An­zahl Pum­pen

≙

Zeit in h

8

≙

3,5

: 8

1

≙

28

* 8

* 5

5

≙

5,6

: 5

Ant­wort: 5 Pum­pen fül­len das Be­cken in 5,6 Stun­den.
Al­ter­na­tiv: 5 Pum­pen fül­len das Be­cken in 5 Stun­den und 36 Mi­nu­ten.

An­satz und Schreib­wei­se als Bruch

8 ≙ 3,5

5 ≙ X

Be­rech­nung in ge­ra­der Linie:

Re­chen­weg

Beim an­ti­pro­por­ti­o­na­len Drei­satz wird immer in ge­ra­der Linie ge­rech­net.  

Die Zahl über X steht immer oben auf dem Bruch­strich.

Übun­gen

1
Ein Auto ver­braucht auf 485 Ki­lo­me­ter 58,2 Liter Ben­zin.
  • Wie­vie­le Liter braucht es auf 100 Ki­lo­me­ter
  • Für wel­che Stre­cke reicht eine Rest­tank­fül­lung von 27 Li­tern
2
Als Pro­jekt­ar­beit wol­len 10 Schü­ler in 14 Tagen den Schul­gar­ten neue an­le­gen.
  • Zwei Schü­ler wer­den über­ra­schend krank. Wie lange dau­ert die Ar­beit jetzt?
  • Sechs Schü­ler der Par­al­lel­klas­se er­klä­ren sich be­reit mit­zu­hel­fen. Wel­che Än­de­rung der Ar­beits­zeit er­gibt sich hier­durch?
Wirtschaft
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16.02.2018

Der er­wei­ter­te Drei­satz

Mit dem er­wei­ter­ten Drei­satz lässt sich aus meh­re­ren Wer­ten die pro­por­ti­o­nal oder an­ti­pro­por­ti­o­nal im Ver­hält­nis ste­hen ein un­be­kann­ter Wert er­rech­nen. Es sind also meh­re­re Ver­hält­nis­se ent­hal­ten, die zu be­rück­sich­ti­gen sind. Für die Lö­sung mit dem Ta­bel­len­sche­ma sind also meh­re­re Schrit­te nötig.

Lö­sung eines er­wei­ter­ten Drei­sat­zes

Zehn Mit­ar­bei­ter der Ver­sand­ab­tei­lung kön­nen bei täg­lich 8 Stun­den Ar­beits­zeit in 3 Wo­chen (Wo­chen­ar­beits­zeit 5 Tage) 4.900 Sen­dun­gen pa­cken und ver­sen­den.
Wie viele Sen­dun­gen kön­nen 14 An­ge­stell­te bei täg­lich 6 Stun­den in 2 Wo­chen ab­fer­ti­gen.

Lö­sung:

1. Zu­erst wer­den die be­kann­ten Grö­ßen ins Ver­hält­nis ge­setzt
2. Dann die Pro­por­ti­o­na­li­tä­ten be­stimmt.
2.1 Je mehr Mit­ar­bei­ter desto mehr Sen­dun­gen. (pro­por­ti­o­nal)
2.2. Je we­ni­ger Zeit desto we­ni­ger Sen­dun­gen. (pro­por­ti­o­nal)
3. Dann die erste Größe auf 1 brin­gen.
4. Dann die erste Größe auf die ge­such­te An­zahl brin­gen.
5. Dann die zwei­te Größe auf 1 brin­gen
6. Dann die zwei­te Größe auf die ge­such­te An­zahl brin­gen.
7. Die drit­te, ge­such­te, Größe ver­än­dert sich dabei au­to­ma­tisch mit.

An­zahl der Mit­ar­bei­ter

≙

Ar­beits­zeit in Stun­den

≙

An­zahl der Sen­dun­gen

10

≙

120

≙

4900

:10

1

≙

120

≙

490

:10

*14

14

≙

120

≙

6860

*14

14

≙

: 120

1

≙

57,16

:120

14

≙

*60

60

≙

3430

*60

Ant­wort: 14 An­ge­stell­te schaf­fen bei 6 Stun­den täg­li­cher Ar­beits­zeit in zwei Wo­chen 3430 Pa­ke­te.

An­satz und Schreib­wei­se als Bruch

10  ≙ 120 ≙ 4900

14  ≙ 60 ≙ X

Be­rech­nung ent­spre­chend der Pro­por­ti­o­na­li­tä­ten

Wirtschaft
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16.02.2018

Lö­sung eines er­wei­ter­ten Drei­sat­zes mit meh­re­ren Pro­por­ti­o­na­li­tä­ten

Drei Per­so­nen rei­chen 25 Kilo Kar­tof­feln 50 Tage lang. Wie lange rei­chen 40 Kilo wenn eine Per­son hin­zu­kommt?
1. Zu­erst wer­den die be­kann­ten Grö­ßen ins Ver­hält­nis ge­setzt
2. Dann wer­den die Pro­por­ti­o­na­li­tä­ten be­stimmt.
2.1 Je mehr Per­so­nen - desto we­ni­ger Tage (an­ti­pro­por­ti­o­nal)
2.2 Je mehr Kar­toff­len desto mehr Tage. (pro­por­ti­o­nal)
3. Nun wie­der der erste Wert auf 1 ge­bracht.
4. Dann den ers­ten Wert auf den ge­such­ten Wert brin­gen.
5. Dann den zwei­ten Wert auf 1 brin­gen.
6. Schließ­lich den zwei­ten Wert auf den ge­such­ten Wert brin­gen.
7. Die drit­te, ge­such­te, Größe än­dert sich au­to­ma­tisch mit.

Per­so­nen

≙

Kar­tof­feln in Kg

≙

An­zahl der Tage

3

≙

25

≙

50

: 3

1

≙

25

≙

150

* 3

* 4

4

≙

25

≙

37,5

: 4

4

≙

: 25

1

≙

1,5

:25

4

≙

*40

40

≙

60

*40

Ant­wort: 40 Kilo Kar­tof­feln rei­chen 4 Per­so­nen 60 Tage lang.

An­satz und Schreib­wei­se als Bruch

3  ≙ 25 ≙ 50

4  ≙ 40 ≙ X

Be­rech­nung en­spre­chend der Pro­por­ti­o­na­li­tä­ten

Re­chen­weg

Ach­tung! Die Zahl über X wird immer auf den Bruch­strich ge­schrie­ben. Dann wer­den die Ver­hält­nis­se ent­spre­chend ihrer Pro­por­ti­o­na­li­tät im Zäh­ler und Nen­ner un­ter­ge­bracht.

Übun­gen

3
Drei Mes­se­bau­er kön­nen an einem neun­stün­di­gen Ar­beits­tag acht Mes­se­stän­de auf­bau­en.
  • Wie­vie­le Mes­se­bau­er muss die Firma ein­set­zen, wenn 26 Mes­se­stän­de in 10 Stun­den auf­ge­baut wer­den sol­len?
  • Wie­vie­le Über­stun­den müs­sen sie­ben­Mes­se­bau­er ma­chen wenn sie 19
    Stän­de auf­bau­en sol­len?
  • Einer der Mes­se­bau­er wird krank, wie­vie­le Stän­de schaf­fen seine
    Kol­le­gen nun noch an einem ver­kürz­ten Ar­beits­tag (7 Stun­den)?
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16.02.2018

Der un­ter­bro­che­ne Drei­satz

Der un­ter­bro­che­ne Drei­satz ist eine Son­der­form der Drei­satz­rech­nung bei der sich eine oder meh­re­re Be­din­gun­gen wäh­rend der Be­rech­nung än­dern. Des­halb kann er nicht kom­plett durch­ge­rech­net son­dern muss in ein­zel­nen Schrit­ten be­rech­net wer­den.

Lö­sung eines un­ter­bro­che­nen Drei­sat­zes

Vier Bag­ger heben die Bau­gru­be eines Neu­baus in 14 Tagen aus. Nach sie­ben Tagen wird ein wei­te­rer Bag­ger ein­ge­setzt. Wie lange dau­ert die Ar­beit nun noch.

Lö­sung:

1. Um die Auf­ga­be zu lösen, be­trach­ten wir das Aus­gangs­ver­hält­nis:

4 Bagg­ger ≙ 14 Tagen

2. Nun wird die be­reits ge­leis­te­te Ar­beits­zeit ab­ge­zo­gen (- 7 Tage)

4 Bagg­ger ≙ 7 Tagen

3. Jetzt kann ein nor­ma­ler Drei­satz auf­ge­stellt wer­den.

An­zahl Bag­ger

≙

Zeit in Tagen

4

≙

7

: 4

1

≙

28

* 4

* 5

5

≙

5,6

: 5

Lö­sung: Die Ar­beit dau­ert noch 5,6 Tage.

An­satz und Schreib­wei­se als Bruch

4 Bag­ger  ≙ 14 Tagen

                   -  7 Tage

4 Bag­ger ≙    7 Tagen

4  ≙ 7

5  ≙ X

Be­rech­nung in ge­ra­der Line, da es sich um einen an­ti­pro­por­ti­o­na­len Drei­satz han­delt.

Al­ter­na­ti­ve Fra­ge­stel­lung: Auf wel­che Zeit ver­kürzt sich die Ar­beits­zeit?
Be­rech­nung: Be­reits ge­leis­te­te Ar­beits­zeit + be­rech­ne­te Ar­beits­zeit

Lö­sung: Die Ar­beits­zeit ver­kürzt sich hier­durch auf 12,6 Tage. (7 Tage + 5,6 Tage)

Al­ter­na­ti­ve Fra­ge­stel­lung: Wie stark ver­kürzt sich die Ar­beits­zeit durch den Ein­satz des wei­te­ren Bag­gers?
Be­rech­nung: Ge­plan­te Ar­beits­zeit - neue Ar­beits­zeit ge­samt

Lö­sung: Die Ar­beits­zeit ver­kürzt sich um 1,4 Tage. (14 Tage - 12,6 Tage)

4
Fünf Pum­pen lee­ren einen Gra­ben in 6 Stun­den. Nach zwei Stun­den fällt eine Pumpe aus.
  • Wie lange dau­ert das Aus­pum­pen nun noch?
  • Um wel­che Zeit ver­län­gert sich das Aus­pum­pen?
  • Wie lange dau­ert das Aus­pum­pen ins­ge­samt?
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Lö­sun­gen

1. Ein Auto ver­braucht auf 485 Ki­lo­me­ter 58,2 Liter Ben­zin.
  • Wie­vie­le Liter braucht es auf 100 Ki­lo­me­ter
  • Für wel­che Stre­cke reicht eine Rest­tank­fül­lung von 27 Li­tern

Stre­cke in km

≙

Ben­zin in L

485

≙

58,2

: 485

1

≙

0,12

: 485

* 100

100

≙

12

* 100

Ant­wort: Das Auto ver­braucht 12 Liter auf 100 Ki­lo­me­ter.

Ben­zin in L

≙

Stre­cke in km

58,2

≙

485

: 58,2

1

≙

8,33

: 58,2

* 27

27

≙

225

* 27

Ant­wort: Das Auto kann noch 225 Ki­lo­me­ter fah­ren.

2. Als Pro­jekt­ar­beit wol­len 10 Schü­ler in 14 Tagen den Schul­gar­ten neue an­le­gen.
  • Zwei Schü­ler wer­den über­ra­schend krank. Wie lange dau­ert die Ar­beit jetzt?
  • Sechs Schü­ler der Par­al­lel­klas­se er­klä­ren sich be­reit mit­zu­hel­fen. Wel­che Än­de­rung der Ar­beits­zeit er­gibt
     sich hier­durch?

Schü­ler

≙

Tage

10

≙

14

: 10

1

≙

140

* 10

* 8

8

≙

17,5

: 8

Antwort: Die Arbeit dauert 17,5 Tage.

Schü­ler

≙

Tage

10

≙

14

: 10

1

≙

140

* 10

* 14

12

≙

14

: 14

Ant­wort: Die Ar­beit kann dann in 14 Tagen ge­schafft wer­den. / Es er­gibt sich keine zeit­li­che Än­de­rung

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3. Drei Mes­se­bau­er kön­nen an einem neun­stün­di­gen Ar­beits­tag acht Mes­se­stän­de auf­bau­en.
  • Wie­vie­le Mes­se­bau­er muss die Firma ein­set­zen, wenn 26 Mes­se­stän­de in 10 Stun­den
    auf­ge­baut wer­den sol­len?
  • Wie­vie­le Über­stun­den müs­sen sie­ben Mes­se­bau­er ma­chen wenn sie 19
    Stän­de auf­bau­en sol­len?
  • Einer der Mes­se­bau­er wird krank, wie­vie­le Stän­de schaf­fen seine
    Kol­le­gen nun noch an einem ver­kürz­ten Ar­beits­tag (7 Stun­den) ?

Mes­se­bau­er

≙

Ar­beits­stun­den

≙

Mes­se­stän­de

3

≙

9

≙

8

3

≙

: 9

1

≙

0,88

: 9

3

≙

* 10

10

≙

8,8

* 10

: 8,8

0,34

≙

10

≙

1

: 8,8

* 26

8,84

≙

10

≙

26

* 26

Ant­wort: Die Firma muss 9 Mes­se­bau­er ein­set­zen. (auf­run­den)

Mes­se­bau­er

≙

Ar­beits­stun­den

≙

Mes­se­stän­de

3

≙

9

≙

8

: 3

1

≙

9

≙

2,66

:3

* 7

7

≙

9

≙

18,62

* 7

7

≙

: 18,62

0,48

≙

1

: 18,62

7

≙

*26

12,48

≙

26

* 26

Ant­wort: Die Mes­se­bau­er müs­sen 3,48 Über­stun­den leis­ten. (3 Stun­den, 28 Mi­nu­ten u. 3 Se­kun­den)

Mes­se­bau­er

≙

Ar­beits­stun­den

≙

Mes­se­stän­de

3

≙

9

≙

8

3

≙

: 9

1

≙

0,88

: 9

3

≙

* 7

7

≙

6,16

* 7

: 3

1

≙

7

≙

2,05

:3

* 2

2

≙

7

≙

4,10

* 2

Ant­wort: Die Mes­se­bau­er kön­nen noch 4 Stän­de auf­bau­en. (ab­run­den)

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4. Fünf Pum­pen lee­ren einen Gra­ben in 6 Stun­den. Nach zwei Stun­den fällt eine Pumpe aus.
  • Wie lange dau­ert das Aus­pum­pen nun noch?
  • Um wel­che Zeit ver­län­gert sich das Aus­pum­pen?
  • Wie lange dau­ert das Aus­pum­pen ins­ge­samt?

Vor­über­le­gung: Aus­gangs­ver­hält­nis: 5 Pum­pen  ≙ 6 h

- 2h bis zum Aus­fall

=> 5 Pum­pen ≙ 4 h

Pum­pen

h

≙

5

4

≙

: 5

1

20

≙

* 5

* 4

4

5

≙

: 4

Ant­wort: Das Aus­pum­pen dau­ert noch 5 Stun­den.

Ant­wort: Die Pump­zeit ver­län­gert sich um 1 Stun­de. (Ge­leis­te­te Ar­beits­zeit + Rest­zeit) - Ge­plan­te Zeit

(2 + 5) - 6

Ant­wort: Das Aus­pum­pen dau­ert 7 Stun­den. (Ge­leis­te­te Zeit + Rest­zeit)

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