• Herleitung von Volumenformeln spezieller Rotationskörper
  • jederkannmathe
  • 30.06.2020
  • Allgemeine Hochschulreife, Weiterbildung
  • Mathematik
  • 11, 12, 13
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Spe­zi­el­le Ro­ta­ti­ons­kör­per

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Er­gän­ze bei den Skiz­zen je­weils die kor­rek­te Be­zeich­nung und die For­mel zur Vo­lu­men­be­rech­nung.

Her­lei­tung der Vo­lu­men­for­meln reloa­ded

2
Die drei oben ab­ge­bil­de­ten Kör­per kann man auch als Ro­ta­ti­ons­kör­per auf­fas­sen.
  • Skiz­zie­re die dafür nö­ti­gen Funk­tio­nen und gib die je­wei­li­gen Funk­ti­ons­vor­schrif­ten an.
  • Zeige, dass die Be­rech­nung des Ro­ta­ti­ons­vo­lu­mens auf die be­kann­ten Vo­lu­men­for­meln führt.

Kep­lers For­mel zur Be­rech­nung des In­halts von Fäs­sern

3
Ge­ge­ben seien von einem Fass die Höhe h, der Um­fang u der Boden-​ bzw. De­ckel­flä­che mit Ra­di­us r und der Um­fang U der Fass-​Mitte zum Mit­tel­ra­di­us R.
Zeige, dass für pa­ra­bel­för­mi­ge Be­ran­dun­gen die Kep­ler­sche Fass­re­gel gilt:

V=h60π(8U2+4Uu+3u2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} V=\frac{h}{60 \, \pi} \cdot (8 \, U^2 + 4 \, U u + 3\,u^2)
  • Über­prü­fe die For­mel an­hand eines Fas­ses mit R = 5, r = 4 und h = 12 (Ein­heit: dm).
  • Für Ex­per­ten: Be­wei­se die Aus­sa­ge all­ge­mein­gül­tig.
pa­ra­bel­för­mi­ge Be­ran­dung

Be­stim­me zu­nächs­te die Funk­ti­ons­vor­schrift der Funk­ti­on, deren Ro­ta­ti­ons­kör­per das Fass ist. Er­mitt­le dazu aus der Skiz­ze die Ko­or­di­na­ten von ge­ge­be­nen Punk­ten.

Quelle: Deutsche Fotothek.
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Re­cher­chie­re den Hin­ter­grund: Wie kam Kep­ler dazu, eine For­mel zur Be­rech­nung des Vo­lu­mens von Fäs­sern auf­zu­stel­len? Wel­che Fol­gen hatte seine Ent­de­ckung?
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