• Herleitung von Volumenformeln spezieller Rotationskörper
  • jederkannmathe
  • 30.06.2020
  • Allgemeine Hochschulreife, Weiterbildung
  • Mathematik
  • 11, 12, 13
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.

Spezielle Rotationskörper

1
Ergänze bei den Skizzen jeweils die korrekte Bezeichnung und die Formel zur Volumenberechnung.

Herleitung der Volumenformeln reloaded

2
Die drei oben abgebildeten Körper kann man auch als Rotationskörper auffassen.
  • Skizziere die dafür nötigen Funktionen und gib die jeweiligen Funktionsvorschriften an.
  • Zeige, dass die Berechnung des Rotationsvolumens auf die bekannten Volumenformeln führt.

Keplers Formel zur Berechnung des Inhalts von Fässern

3
Gegeben seien von einem Fass die Höhe h, der Umfang u der Boden- bzw. Deckelfläche mit Radius r und der Umfang U der Fass-Mitte zum Mittelradius R.
Zeige, dass für parabelförmige Berandungen die Keplersche Fassregel gilt:

V=h60π(8U2+4Uu+3u2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} V=\frac{h}{60 \, \pi} \cdot (8 \, U^2 + 4 \, U u + 3\,u^2)
  • Überprüfe die Formel anhand eines Fasses mit R = 5, r = 4 und h = 12 (Einheit: dm).
  • Für Experten: Beweise die Aussage allgemeingültig.
parabelförmige Berandung

Bestimme zunächste die Funktionsvorschrift der Funktion, deren Rotationskörper das Fass ist. Ermittle dazu aus der Skizze die Koordinaten von gegebenen Punkten.

Quelle: Deutsche Fotothek.
4
Recherchiere den Hintergrund: Wie kam Kepler dazu, eine Formel zur Berechnung des Volumens von Fässern aufzustellen? Welche Folgen hatte seine Entdeckung?