• Differenzialrechnung: Einstieg
  • Simon Brückner
  • 08.12.2020
  • Mathematik
  • 11
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  • Achtung Kontrolle!

    Einstieg

    Zur Geschwindigkeitskontrolle werden teilweise so genannte Abschnittskontrollen durchgeführt. Dabei wird an zwei Punkten einer Strecke die Zeit gemessen, zu der ein Fahrzeug diesen Punkt passiert.
    • Erklären Sie, wie man mit Hilfe eines solchen Aufbaus Geschwindigkeitsüber-schreitungen nachweisen kann.
    • Wann kann eine Geschwindigkeitsüberschreitung auf diese Weise nicht gemessen werden?
    • Wie könnte die Anlage angepasst werden um Geschwindigkeitsüberschreitungen genauer messen zu können?

    Übertragung

    Übertragen Sie die Überlegungen aus dem Einstieg nun
    auf die Situation an den abgebildeten Graphen.
    • Problem: Die Änderungsrate auf dem
      Intervall [0;3]\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small[0;3]} ist für beide Graphen
      . Sie beschreibt den tatsächlichen
      Verlauf der Graphen also nur ungenau.
    • Idee:
    1234x12345yoriginOgf

               

    Ihre Überlegungen können Sie mit dem folgenden Video überprüfen:

    https://vimeo.com/469664091

  • Merke: Ableitung

    Häufig will man beschreiben, wie sich eine Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f an einer bestimmten Stelle x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x_0 verändert. Diese momentane Änderung heißt Ableitung f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(x_0) (sprich „f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f Strich von x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x_0“).
    Um sich der Ableitung zu nähern, kann man den Differenzenquotienten auf immer engeren Intervallen bilden.
    Bsp.: Gegeben sei die Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f mit f(x)=x2+4x+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=-x^2+4x+2. Gesucht ist die Ableitung der Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f an der Stelle 0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small 0, kurz f(0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(0). Wir bilden nun den Differenzenquotienten auf verschiedenen Intervallen [0;x1]\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small [0;x_1], wobei x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x_1 immer näher an 0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small 0 rücken soll.

    1234x12345yoriginOf
    1234x12345yoriginOf
    1234x12345yoriginOf

    x1=3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1=3
    f(3)f(0)30\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \large\frac{f(3)-f(0)}{3-0}
    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}
    =5230=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} =\large{\frac{5-2}{3-0}}=1

    x1=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1=2
    f(2)f(0)20\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{f(\cloze{\small2})-f(0)}{\cloze{\small2}-0}
    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}
    =6220=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} =\frac{\cloze{\small6}-2}{\cloze{\small2}-0}=1

    x1=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1=1
    f(1)f(0)10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \frac{\cloze{\small f(1)-f(0)}}{\cloze{\small1-0}}

    =5210=3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} =\cloze{\small\frac{5-2}{1-0}}=\cloze{\small3}

    In einer Tabelle kann man Werte für noch kleinere Intervalle zusammenstellen:

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(0)

    f(x1)f(0)x10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(0)}{x_1-0}

    1

    1-0=1

    5

    5-2=3

    3:1=3

    0,1

    0,01

    0,001

    Vermutung: Wenn die Tabelle immer weiter fortgeführt werden würde, rückt der berechnete Differenzenquotient immer näher an 4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small4}.
    Mathematisch: Für x10\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1 \rightarrow 0 gilt f(x1)f(0)x104\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(0)}{x_1-0}\rightarrow\cloze{\small4}
  • 1
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3 für x0=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=0.









    f(x0)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{0}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    2
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=1.









    f(x0)=3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{3}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    3
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=2.









    f(x0)=12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{12}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    4
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-1.









    f(x0)=2,9=3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{2,\overline9=3}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

  • 5
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^3 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-2.









    f(x0)=11,9=12\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{11,\overline9=12}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    6
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2 für x0=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=0.









    f(x0)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{0}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    7
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=1.









    f(x0)=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{2}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    8
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=2.









    f(x0)=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{4}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

  • 9
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-1.









    f(x0)=1,9=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{-1,\overline9=-2}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    10
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-2.









    f(x0)=3,9=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{-3,\overline9=-4}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    11
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=0,5x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=0{,}5x^2 für x0=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=0.









    f(x0)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{0}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    12
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=0,5x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=0{,}5x^2 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=1.









    f(x0)=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{1}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

  • 13
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=0,5x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=0{,}5x^2 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=2.









    f(x0)=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{2}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    14
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=0,5x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=0{,}5x^2 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-1.









    f(x0)=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{-1}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    15
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=0,5x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=0{,}5x^2 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-2.









    f(x0)=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{-2}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    16
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2+1 für x0=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=0.









    f(x0)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{0}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

  • 17
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2+1 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=1.









    f(x0)=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{2}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    18
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2+1 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=2.









    f(x0)=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{4}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    19
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2+1 für x0=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-1.









    f(x0)=1,9=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{-1,\overline9=-2}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

    0,01

    0,001

    20
    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x2+1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2+1 für x0=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_0=-2.









    f(x0)=3,9=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \Rightarrow f'(x_0)=\cloze{-3,\overline9=-4}

    x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1

    x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x_1-x_0

    f(x1)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)

    f(x1)f(x0)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x_1)-f(x_0)

    f(x1)f(x0)x1x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

    0,1

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