Einstieg

- Erklären Sie, wie man mit Hilfe eines solchen Aufbaus Geschwindigkeitsüber-schreitungen nachweisen kann.
- Wann kann eine Geschwindigkeitsüberschreitung auf diese Weise nicht gemessen werden?
- Wie könnte die Anlage angepasst werden um Geschwindigkeitsüberschreitungen genauer messen zu können?
Übertragung
- Problem: Die Änderungsrate auf dem Intervall [0;3] ist für beide Graphen gleich, nämlich . Sie beschreibt den tatsächlichen Verlauf der Graphen also nur ungenau.
Idee:
Ihre Überlegungen können Sie mit dem folgenden Video überprüfen:
https://vimeo.com/469664091
https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg
Merke: Ableitung
Häufig will man beschreiben, wie sich eine Funktion f an einer bestimmten Stelle x0 verändert. Diese momentane Änderung heißt Ableitung f′(x0) (sprich „f Strich von x0“).
Um sich der Ableitung zu nähern, kann man den Differenzenquotienten auf immer engeren Intervallen bilden.
Bsp.: Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=−x2+4x+2. Gesucht ist die Ableitung der Funktion f an der Stelle 0, kurz f′(0). Wir bilden nun den Differenzenquotienten auf verschiedenen Intervallen [0;x1], wobei x1 immer näher an 0 rücken soll.
x1=3
3−0f(3)−f(0)
=3−05−2=1
x1=2
2−0f(2)−f(0)
=2−06−2=1
x1=1
1−0f(1)−f(0)
=1−05−2=3
In einer Tabelle kann man Werte für noch kleinere Intervalle zusammenstellen:
x1 | x1−0 | f(x1) | f(x1)−f(0) | x1−0f(x1)−f(0) |
---|---|---|---|---|
1 | 1-0=1 | 5 | 5-2=3 | 3:1=3 |
0,1 |
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
0,001 |
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Mathematisch: Für x1→0 gilt x1−0f(x1)−f(0)→4
https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg
⇒f′(x0)=0
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=3
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=12
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=2,9=3
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg
⇒f′(x0)=11,9=12
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=0
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=2
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=4
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg
⇒f′(x0)=−1,9=−2
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=−3,9=−4
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=0
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=1
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg
⇒f′(x0)=2
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=−1
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=−2
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=0
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
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https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg
⇒f′(x0)=2
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=4
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=−1,9=−2
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
|
⇒f′(x0)=−3,9=−4
x1 | x1−x0 | f(x1) | f(x1)−f(x0) | x1−x0f(x1)−f(x0) |
---|---|---|---|---|
| 0,1 |
|
|
|
| 0,01 |
|
|
|
| 0,001 |
|
|
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https://www.tutory.de/entdecken/dokument/differenzialrechnung-einstieg