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TitelDifferenzialrechnung: Einstieg
AutorSimon Brückner
veröffentlicht03.11.2021
FachMathematik
Klassenstufe11

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Achtung Kontrolle!

Einstieg

Zur Geschwindigkeitskontrolle werden teilweise so genannte Abschnittskontrollen durchgeführt. Dabei wird an zwei Punkten einer Strecke die Zeit gemessen, zu der ein Fahrzeug diesen Punkt passiert.

Erklären Sie, wie man mit Hilfe eines solchen Aufbaus Geschwindigkeitsüber-schreitungen nachweisen kann.
Wann kann eine Geschwindigkeitsüberschreitung auf diese Weise nicht gemessen werden?
Wie könnte die Anlage angepasst werden um Geschwindigkeitsüberschreitungen genauer messen zu können?

Übertragung

Übertragen Sie die Überlegungen aus dem Einstieg nun auf die Situation an den abgebildeten Graphen.

Problem: Die Änderungsrate auf dem Intervall $[0; 3]$ ist für beide Graphen gleich, nämlich . Sie beschreibt den tatsächlichen Verlauf der Graphen also nur ungenau.

Idee:

Ihre Überlegungen können Sie mit dem folgenden Video überprüfen:

https://vimeo.com/469664091

Merke: Ableitung

Häufig will man beschreiben, wie sich eine Funktion $f$ an einer bestimmten Stelle $x_{0}$ verändert. Diese momentane Änderung heißt Ableitung $f^{'} (x_{0})$ (sprich „ $f$ Strich von $x_{0}$ “).

Um sich der Ableitung zu nähern, kann man den Differenzenquotienten auf immer engeren Intervallen bilden.

Bsp.: Gegeben sei die Funktion $f$ mit $f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ . Gesucht ist die Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $0$ , kurz $f^{'} (0)$ . Wir bilden nun den Differenzenquotienten auf verschiedenen Intervallen $[0; x_{1}]$ , wobei $x_{1}$ immer näher an $0$ rücken soll.

$x_{1} = 3$

$\frac{f ( 3 ) - f ( 0 )}{3 - 0}$

$= \frac{5 - 2}{3 - 0} = 1$

$x_{1} = 2$

$\frac{f ( 2 ) - f ( 0 )}{2 - 0}$

$= \frac{6 - 2}{2 - 0} = 1$

$x_{1} = 1$

$\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{1 - 0}$

$= \frac{5 - 2}{1 - 0} = 3$

In einer Tabelle kann man Werte für noch kleinere Intervalle zusammenstellen:

$x_{1}$	$x_{1} - 0$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (0)$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( 0 )}{x _{1} - 0}$
1	1-0=1	5	5-2=3	3:1=3
0,1
0,01
0,001

Vermutung: Wenn die Tabelle immer weiter fortgeführt werden würde, rückt der berechnete Differenzenquotient immer näher an

4

.
Mathematisch: Für

x_{1} \to 0

gilt

\frac{f ( x _{1} ) - f ( 0 )}{x _{1} - 0} \to 4

1

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{3}

für

x_{0} = 0

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

2

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{3}

für

x_{0} = 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 3

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

3

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{3}

für

x_{0} = 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 12

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

4

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{3}

für

x_{0} = - 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 2, \overline{9} = 3

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

5

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{3}

für

x_{0} = - 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 11, \overline{9} = 12

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

6

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2}

für

x_{0} = 0

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

7

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2}

für

x_{0} = 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 2

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

8

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2}

für

x_{0} = 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 4

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

9

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2}

für

x_{0} = - 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = - 1, \overline{9} = - 2

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

10

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2}

für

x_{0} = - 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = - 3, \overline{9} = - 4

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

11

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = 0, 5 x^{2}

für

x_{0} = 0

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

12

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = 0, 5 x^{2}

für

x_{0} = 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 1

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

13

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = 0, 5 x^{2}

für

x_{0} = 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 2

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

14

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = 0, 5 x^{2}

für

x_{0} = - 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = - 1

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

15

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = 0, 5 x^{2}

für

x_{0} = - 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = - 2

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

16

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2} + 1

für

x_{0} = 0

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 0

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

17

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2} + 1

für

x_{0} = 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 2

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

18

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2} + 1

für

x_{0} = 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = 4

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

19

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2} + 1

für

x_{0} = - 1

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = - 1, \overline{9} = - 2

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$
	0,1
	0,01
	0,001

20

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit

f (x) = x^{2} + 1

für

x_{0} = - 2

.

\Rightarrow f^{'} (x_{0}) = - 3, \overline{9} = - 4

$x_{1}$	$x_{1} - x_{0}$	$f (x_{1})$	$f (x_{1}) - f (x_{0})$	$\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0}}{x _{1} - x _{0}}$