• Intervallhalbierung
  • Simon Brückner
  • 04.03.2022
  • Fachhochschulreife
  • Mathematik
  • 11
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Intervallhalbierung:
Immer näher an die Lösung!

Einstieg

Alle drei Bilder zeigen denselben Graphen. Betrachten Sie die drei Bilder der Reihe nach. Wie genau können Sie die Nullstelle der Funktion jeweils bestimmen. Wie würden Sie das nächste Koordinatensystem wählen?

Erarbeitung

Schauen Sie das Video zu nebenstehendem Link an und ergänzen Sie den Lückentext sinnvoll.

Gesucht sei die Nullstelle einer Funktion f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f, ihr Graph sei Kf\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} K_f. Um mit der Intervallhalbierung starten zu können benötigt man zwei Stellen x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 und x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 an denen Kf\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} K_f einmal    oberhalb   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\ \ \ oberhalb\ \ \ } und einmal    unterhalb   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\ \ \ unterhalb\ \ \ } der x-Achse liegt. Die gesuchte Nullstelle muss dann    zwischen   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\ \ \ zwischen\ \ \ } x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1 und x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_2 liegen. Um sie genauer zu bestimmen, wertet man die Funktion an einer Stelle x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_3 aus, die    in der Mitte zwischen   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\ \ \ in\ der\ Mitte\ zwischen\ \ \ }     x1 und x2 liegt    \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\ \ \ \ x_1\ und\ x_2\ liegt\ \ \ \ }. Nun weiß man, ob der Vorzeichenwechsel zwischen x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{x_1} und x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{x_3} oder zwischen x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{x_3} und x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{x_2} stattfindet. Dieses Verfahren    wiederholt   \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\ \ \ wiederholt\ \ \ } man, bis man sich in der gewünschten Genauigkeit an die Nullstelle angenähert hat.

Übung

Ergänzen Sie jeweils die Tabelle, um eine Nullstelle der genannten Funktion näherungsweise auf eine Nachkommastelle genau zu bestimmen.
  • f(x)=x32x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^3-2x-1
  • g(x)=2ex+x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)=2e^x+x
  • f(x)=x32x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^3-2x-1

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x

f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)

1

2

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x

g(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)

-1

0

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x

f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)

-0,8

0




  • Warum ist es nicht möglich in Aufgabenteil c) mit x=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x=-1 zu starten?

  • Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe der Erkenntnisse aus a), c) und d).

  • Eine der beiden Nullstellen des nebenstehenden Graphen kann mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens nährungsweise bestimmt werden, die andere nicht. Erklären Sie!

  • Welche weiteren Schwierigkeiten können beim Intervallhalbierungsverfahren auftreten?

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\approx

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\approx

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\approx

d) x=-1 ist bereits eine Nullstelle. e) Sie kennen die drei Nullstellen. Achten Sie auf den Verlauf von links unten nach rechts oben. f) Bei doppelten Nullstellen (x=1,8) versagt das Verfahren, da e...