Ebenengleichungen und Lagebeziehungen

Darstellungsformen von Ebenengleichungen

Fülle den Lückentext aus.

Um eine Ebenengleichung anzugeben, gibt es drei Darstellungsmöglichkeiten, diese sind die -form, -form und -form. Zum Aufstellen der -form benötigt man einen -vektor und zwei -vektoren, während für die -form nur ein Ortsvektor bzw. Punkt der Ebene sowie der -vektor benötigt wird. Dieser Vektor zeichnet sich dadurch aus, dass er immer auf der Ebene steht. Die -form erhält man durch Umformung aus den anderen beiden Darstellungsformen. Um sie aus der Parameterform zu gewinnen, muss zunächst der bestimmt werden, indem man das der beiden Richtungsvektoren berechnet. Anschließend setzt man die Komponenten des Normalenvektors als $a, b, c$ sowie die Koordinaten $x, y, z$ des Ortsvektors in die allgemeine lineare Gleichung ein und bestimmt $d$ .

Sortiere die Rechenschritte bei der Umformung der Parameterform in die Koordinatenform in der richtigen Reihenfolge.

(1-5)

Gleichung nach $d$ auflösen
Normalenvektor über Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
Komponenten des Normalenvektors in allgemeine lineare Gleichung einsetzen
$d$ in Koordinatenform einsetzen
Stützvektorkoordinaten in Gleichung einsetzen

Gegeben sind die Punkte

A (2∣1∣ - 3), B (0∣3∣1)

und

C (3∣1∣ - 5)

Die Punkte $A, B$ und $C$ liegen in einer Ebene mit der Parametergleichung $E : x = A + r \cdot A B + s \cdot A C = 21 - 3 + r \cdot - 2 y_{1} z_{1} + s \cdot x_{2} 0 z_{2}$ . Gib die Werte der fehlenden Koordinaten der Ebenengleichung an:
$y_{1} =$ ; $z_{1} =$ ; $x_{2} =$ ; $z_{2} =$
Wandle die Ebenengleichung in die Normal- und in die Koordinatenform um.
Ergänze dazu die fehlenden Lücken.
$E : [x - 2 p_{2} p_{3}] \cdot - 4 n_{2} n_{3} = 0$ ; $E : a x + b y + cz = - 2$
$p_{2} =$ ; $p_{3} =$ ; $n_{2} =$ ; $n_{3} =$ ; $a =$ ; $b =$ ; $c =$

Gegeben ist eine Ebene E mit

E : 2 x + 3 y + 8 z = 12

.
Kreuze jeweils die richtigen Aussagen an:

Der Koordinatenursprung und die Spurpunkte (Achsenschnittpunkte) ergeben...

Das Volumen des entstandenen Körpers beträgt...

Gegeben ist eine Ebene E in Parameterform durch

E : x = 123 + r \cdot 011 + s \cdot 222

Wie kann man die Ebene in Parameterform begrenzen kann, sodass sie ein Parallelogramm ergibt? Ergänze dazu die Lücken in der folgenden Beschreibung:

Die Koeffizienten und müssen werden, um die Ausdehnung der Ebene auf ein Parallelogramm zu begrenzen. Dazu müssen die
Koeffizienten in einem Intervall [ , ] mit $k \in R$ liegen.
Es sollen nun $r$ im Intervall $[0, m]$ und $s$ im Intervall $[0, 1]$ liegen. Bestimme den Wert für $m$ so, dass das Parallelogramm einen Flächeninhalt von $10$ $FE$ hat.
$m =$

Lagebeziehungen von Ebenen

Öffne die Geogebra-Datei mithilfe des nebenstehenden QR-Codes.

Gib die Komponenten des Normalenvektors der Ebene an.
$n_{1} =$ ; $n_{2} =$ ; $n_{3} =$
Stelle mithilfe der Eingabefelder die Koeffizienten der Gerade $g$ so ein, dass sie
parallel zur Ebene ist.
Ergänze die fehlenden Wörter:
Damit die Gerade zur Ebene ist bzw. in der Ebene liegt, muss der Richtungsvektor der Geraden auf dem Normalenvektor der Ebene sein. Rechnerisch bedeutet das, dass das -produkt von beiden Vektoren gleich ergibt.
Überprüfe das Lageverhalten der Geraden $g : x = 224 + t \cdot 88 - 2$ mit der Ebene. Kreuze danach die richtige Aussage an:

t1p.de/mqerv

Gib jeweils die Schnittpunkte der Ebenen mit den Koordinatenachsen an.

$E_{1} : 7 x + 6 y - 3 z = 42$
$P_{x}$ $($ $∣0∣0)$ , $P_{y} ($ $∣$ $∣$ $)$ , $P_{z} ($ $∣$ $∣$ $)$
$E_{2} : 3, 5 y - 4, 5 z = 31, 5$
$P_{x}$ $($ $∣$ $∣$ $)$ , $P_{y} ($ $∣$ $∣$ $)$ , $P_{z} ($ $∣$ $∣$ $)$
$E_{3} : z = x - 4$
$P_{x}$ $($ $∣$ $∣$ $)$ , $P_{y} ($ $∣$ $∣$ $)$ , $P_{z} ($ $∣$ $∣$ $)$

Falls ein Schnittpunkt nicht existiert, trage jeweils - in das Kästchen ein.

Bei Multiple-Choice Fragen können mehrere Antworten richtig sein 😉.

Löse die Multiple-Choice Fragen.

Welche der folgenden Ebenen ist/ sind parallel zur

x - z -

Ebene?

Welche der folgenden Ebenen schneiden die Ebene

x + y + z = 1

in genau einer Geraden?

Welche Punkte liegen auf der Ebene

E : 2 x + 3 y + 4 z = 12

Es sei

E_{1} : - 3 x + 6 y = 12

. Für welchen Wert von

k

steht die Ebene

E_{2} : 5 x - k y + 10 z = 8

senkrecht auf

E_{1}

Die Schnittmenge zweier Ebenen kann...

Die Schnittmenge dreier Ebenen kann...

Welche der folgenden Ebenen liegen parallel zur Geraden

g : x = 111 + r \cdot 010

Welche Vektoren sind Normalenvektoren der Ebene

E : 6 x - 3 y + 15 z = 3