• Die quadratische Funktion
  • KunzJ
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 9
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Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion

In den letzten Aufgaben haben wir gesehen, dass die Formel zur Berechnung des Anhalteweges neben einem rein-quadratischen Teil ( Bremsweg mit 12aBv2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{2a_B}\cdot\,v^2) auch einen linearen Teil (Reaktionsweg mit tRv\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} t_R\cdot\,v) besaß. Werden diese beiden Teile kombiniert, erhalten wir die allgemeine Form einer quadratischen Funktion:

Merke: Die quadratische Funktion

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c , wobei a0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\neq 0 und a,b,cR\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, b, c \in \mathbb{R} ist, wird als quadratische Funktion bezeichnet.

Beispiel: Basketball-Wurf

Die folgende quadratische Funktion beschreibt den Wurf eines Basketballs von der Dreier-Linie auf den Korb. Sie ordnet der Weite x in m vom Abwurf die Höhe f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) des Balls in m zu.

Funktionsgleichung:

f(x)=314x2+2314x+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-\frac{3}{14}\cdot x^2+\frac{23}{14}\cdot x+2

Funktionsterm:

314x2+2314x+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -\frac{3}{14}\cdot x^2+\frac{23}{14}\cdot x+2

Wertetabelle:

Funktionsgraph:

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x (in m)

f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) in m

0

2

1

3,43

2

4,43

3

5

7

3

1
Vervollständige die Tabelle, indem du die entsprechenden Werte aus dem Beispiel Basketball-Wurf überträgst.

allgemein

Basketball-Wurf:

rein-quadratischer Teil

ax2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\cdot x^2

linearer Teil

bx\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b\cdot x

konstanter Teil

c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c

2
Betrachte die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2).
  • Zeige, dass diese Funktion quadratisch ist, indem du sie in der Form f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c angibst.
  • Welche Werte haben die Parameter a,b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, b und c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c?
Hinweis: Ausmulitplizieren

Situation 1: a(b+c)=ab+ac\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c



Situation 2:(a+b)(cd)=acad+bcbd\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (a+b)\cdot (c-d) = a\cdot c- a\cdot d+b\cdot c-b\cdot d

Lösung1
Ver­voll­stän­di­ge die Ta­bel­le, indem du die ent­spre­chen­den Werte aus dem Bei­spiel Basketball-​Wurf über­trägst.
rein-​quadratischer Teil: 314x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -\frac{3}{14}\cdot x^2
li­nea­rer Teil: 2314x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{23}{14}\cdot x
kon­stan­ter Teil: 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2
Lösung2
Be­trach­te die Funk­ti­on mit der Funk­ti­ons­glei­chung f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2).
zu a):
f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2) |Aus­mul­ti­pli­zie­ren
f(x)=xxx2+3x32\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x\cdot x-x\cdot 2+3\cdot x-3\cdot 2
f(x)=x22x+3x6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2-2x+3x-6
f(x)=x2+x6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2+x-6

zu b):
a=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=1
b=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b=1
c=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c=-6
x