• Die quadratische Funktion
  • KunzJ
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 9
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
KunzJ
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion

In den letzten Aufgaben haben wir gesehen, dass die Formel zur Berechnung des Anhalteweges neben einem rein-quadratischen Teil ( Bremsweg mit 12aBv2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{1}{2a_B}\cdot\,v^2) auch einen linearen Teil (Reaktionsweg mit tRv\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} t_R\cdot\,v) besaß. Werden diese beiden Teile kombiniert, erhalten wir die allgemeine Form einer quadratischen Funktion:

Merke: Die quadratische Funktion

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c , wobei a0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\neq 0 und a,b,cR\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, b, c \in \mathbb{R} ist, wird als quadratische Funktion bezeichnet.

Beispiel: Basketball-Wurf

Die folgende quadratische Funktion beschreibt den Wurf eines Basketballs von der Dreier-Linie auf den Korb. Sie ordnet der Weite x in m vom Abwurf die Höhe f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) des Balls in m zu.

Funktionsgleichung:
f(x)=314x2+2314x+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-\frac{3}{14}\cdot x^2+\frac{23}{14}\cdot x+2

Funktionsterm:
314x2+2314x+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -\frac{3}{14}\cdot x^2+\frac{23}{14}\cdot x+2

Wertetabelle:

Funktionsgraph:

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x (in m)

f(x)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x) in m

0

2

1

3,43

2

4,43

3

5

7

3

KunzJ
1
Vervollständige die Tabelle, indem du die entsprechenden Werte aus dem Beispiel Basketball-Wurf überträgst.

allgemein

Basketball-Wurf:

rein-quadratischer Teil

ax2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\cdot x^2

linearer Teil

bx\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b\cdot x

konstanter Teil

c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c

2
Betrachte die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2).
  • Zeige, dass diese Funktion quadratisch ist, indem du sie in der Form f(x)=ax2+bx+c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c angibst.
  • Welche Werte haben die Parameter a,b\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a, b und c\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c?
Hinweis: Ausmulitplizieren

Situation 1: a(b+c)=ab+ac\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c


Situation 2:(a+b)(cd)=acad+bcbd\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} (a+b)\cdot (c-d) = a\cdot c- a\cdot d+b\cdot c-b\cdot d

KunzJ
Lösung1
Vervollständige die Tabelle, indem du die entsprechenden Werte aus dem Beispiel Basketball-Wurf überträgst.
rein-quadratischer Teil: 314x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} -\frac{3}{14}\cdot x^2
linearer Teil: 2314x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \frac{23}{14}\cdot x
konstanter Teil: 2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} 2
Lösung2
Betrachte die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2).
zu a):
f(x)=(x+3)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=(x+3)\cdot (x-2) |Ausmultiplizieren
f(x)=xxx2+3x32\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x\cdot x-x\cdot 2+3\cdot x-3\cdot 2
f(x)=x22x+3x6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2-2x+3x-6
f(x)=x2+x6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2+x-6

zu b):
a=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a=1
b=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} b=1
c=6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c=-6