• Extrempunkte bestimmen
  • Simon Brückner
  • 07.12.2020
  • Mathematik
  • 11
Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.
Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung bestimmen
Merke: (Ergänzen Sie die Lücken mithilfe der Graphen)
  • Die Extremstellen der Funktion f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f sind Nullstellen ihrer Ableitung f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'.
    Die zweite Ableitung gibt die Steigung der ersten Ableitung an.
  • Wo die erste Ableitung monoton fallend ist, ist die zweite Ableitung negativ. Ist das an einer Extremstelle von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f der Fall, handelt es sich beim zugehörigen Extrem-punkt um einen Hochpunkt.
  • Wo die erste Ableitung monoton wachsend ist, ist die zweite Ableitung positiv. Ist das an einer Extremstelle von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f der Fall, handelt es sich beim zuge-hörigen Extrempunkt um einen Tiefpunkt.

Welche Worte in

den Lücken fehlen

erfahren Sie hier.

ersten Hochpunkt negativ Nullstellen positiv Tiefpunkt zweite
1234x-2-112yoriginOf
1234x-3-2-11yoriginOf'
Verfahren:
Der abgebildete Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f gehört zu folgender Gleichung:
f(x)=x39x2+24x18\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=x^3-9x^2+24x-18
Wie Sie seine Extrempunkte berech-nen erfahren Sie im unten verlinkten Video.
Nennen Sie die wesentlichen Schritte dieser Berechnung und beziehen Sie das Vorgehen auf die oben ergänzten Merksätze.
Lösung
1) Zweimal ableiten
2) Nullstellen von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f' bestimmen: f(x)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'(x)=0
3) Gefundene Stellen in f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f'' einsetzen
f(x)<0Hochpunkt\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f''(x)<0 \Rightarrow Hochpunkt
f(x)>0Tiefpunkt\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f''(x)>0 \Rightarrow Tiefpunkt
4) Gefundene Stellen in f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f einsetzen, um die y-Koordinate der Punkte zu erhalten.

Cornelsen Verlag:

Extrempunkte mit der 2. Ableitung bestimmen

https://youtu.be/

PZxDgUqeB9o