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  • Extremwerte quadratischer Terme / durch quadratische Ergänzung
  • anonym
  • 12.12.2023
  • Mathematik
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Name:
Extremwerte quadratischer Terme / durch quadratische Ergänzung
10.12.2023
Ex­trem­wer­te qua­dra­ti­sche Terme

Mi­ni­mun

Wenn a > 0 ist, be­sit­zen Terme der Form a (x - m)2 + n ein Mi­ni­mum n für x = m.

Man schreibt Tmin = n für x = m (a ϵ ℚ⁺; m, n, x ϵ ℚ)



Ma­xi­mun

Wenn a < 0 ist, be­sit­zen Terme der Form a (x - m)2 + n ein Ma­xi­mum n für x = m.

Man schreibt Tmin = n für x = m (a ϵ ℚ⁺; m, n, x ϵ ℚ)

1
Be­stim­me die Ex­trem­wer­te der fol­gen­den Terme. Gib die zu­ge­hö­ri­ge Be­le­gung von x an. Über­prü­fe es mit dem Ta­schen­rech­ner.
  • T( x ) = - 7 (x + 6)² + 9 |T = x =
  • T(x ) = - 7 (x + 7)² + 5 |T = x =
  • T( x ) = - 8 (x + 2)² + 9 |T = x =
  • T( x) = 5 (x- 8)² - 9 |T = x =
  • T( x ) = - 3 (x + 7)² + 6 |T = x =
  • T(x ) = - 4 (x + 7)² + 7 |T = x =
  • T(x ) = - 5 (x + 8)² + 9 |T = x =
  • T( x) = 7 (x- 8)² - 5 |T = x =
  • T( x ) = - 8 (x - 4)² + 2 |T = x =
  • T( x ) = - 8 (x + 5)² + 3 |T = x =
Mathematik
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Finde einen pas­sen­den Term
  • Tmax= −3 | x = 9
  • Tmax= −8 | x = 4
  • Tmax= 3 | x = 6
  • Tmax= −4 | x = 0
  • Tmax= −10 | x = 4
  • Tmin= −1 | x = 7
  • Tmin= −5 | x = 2
  • Tmax= 7 | x = −1
  • Tmax= 3 | x = 7
  • Tmax= 2 | x = 2
Mathematik
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10.12.2023
Qua­dra­ti­sche Er­gän­zung

Um die Pa­ra­bel einer qua­dra­ti­schen Funk­ti­on ohne Wer­te­ta­bel­le kon­stru­ie­ren zu kön­nen und die Ex­trem­wer­te zu lesen, brau­chen wir die Schei­tel­punkt­form f (x) = a (x - b)² + c.



Ist die qua­dra­ti­sche Funk­ti­on je­doch nur in ihrer all­ge­mei­nen Form

f (x) = ux² + vx + w ge­ge­ben, müs­sen sie wir erst um­for­men.



Dies schaf­fen wir mit­hil­fe der qua­dra­ti­schen Er­gän­zung.

Chloe be­kommt fol­gen­de qua­dra­ti­sche Funk­ti­on
f (x) = x² + 6x + 10. Sie hat fol­gen­den Lö­sungs­weg aus­ge­dacht.
Sie geht fol­gen­de Schrit­te so vor:
f (x) = x² - 6x + 10
f (x) = x² - 2 ⋅ 3 x + 10 Ver­gleich mit a² -2 ab + b²
f (x) = x² - 2 ⋅ 3 x +3² - 3² + 10 Ad­die­re zu dem Term 3²
 dazu, damit der Term sich
 nicht ver­än­dert, muss 3²
ab­zo­gen wer­den.
f (x) = (x² - 2 ⋅ 3 x +3²) -9 + 10 Wende a² -2 ab + b² an
f (x) = (x - 3)² +1 Fasse es zu (a - b)²
zu­sam­men.
Tmin = 1 für x = 3
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10.12.2023
Tim be­kommt fol­gen­de qua­dra­ti­sche Funk­ti­on
f (x) = 2x² + 4x + 2. Er hat fol­gen­den Lö­sungs­weg aus­ge­dacht.
Sie geht fol­gen­de Schrit­te so vor:
f (x) = 2x² + 4x + 2
f (x) = 2 (x² + 2x) + 2 Klam­me­re die 2 aus dem x
Term aus
f (x) = 2 (x² + 2⋅ 1 ⋅ x) + 2 Ver­gleich mit a² +2 ab + b²
f (x) = 2 (x² + 2 ⋅ 1 x +1² - 1²) + 2 Ad­die­re zu dem Term 1²
 dazu, damit der Term sich
 nicht ver­än­dert, muss 1²
ab­zo­gen wer­den.
f (x) = 2 (x² + 2 ⋅ 1 x +1²) -2 + 2 Wende a² +2 ab + b² an
pass auf das - 1² noch
mit 2 mul­ti­l­pli­ziert wer­den
muss.
f (x) = (x + 1)² Fasse es zu (a - b)²
zu­sam­men.
Tmin = 2 für x = -1
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3
Be­rech­ne!
  • x2 + 4 x + 19 =
  • x2 + 12 x + 5 =
  • x2 + 14 x + 5 =
  • x2 + 12 x + 4 =
Be­rech­ne!
  • 0,9⋅x2 + 7,2 x + 18 =
  • 1,2⋅x2 + 14,4 x + 20 =
  • 1,9⋅x2 + 30,4 x + 5 =
  • −0,4⋅x2 + −6,4 x + 15 =
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