• Einführung in die Logik
  • Christian Gissinger
  • 30.06.2020
  • Mathematik
  • 1. Lehrjahr
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Na lo­gisch!

Die bri­ti­schen Ma­the­ma­ti­ker Ge­or­ge Boole und Au­gus­tus De Mor­gan haben sich in der Mitte des 19. Jahr­hun­derts ver­dient ge­macht. Heute ist das, was die bei­den da­mals ge­fun­den haben, als sym­bo­li­sche oder mo­der­ne Logik be­kannt. In den dar­auf fol­gen­den Jah­ren haben viele an­de­re Ma­the­ma­ti­ker diese Logik wei­ter er­forscht.

Das heute be­kann­te lo­gi­sche Sys­tem führt Sym­bo­le für ganze Sätze (so ge­nann­te Aus­sa­gen) und ihre Bin­de­glie­der (z.B. und, oder...) ein.

Aus­sa­ge

Falls du ein­deu­tig ent­schei­den kannst, ob ein Satz wahr oder falsch ist, wird die­ser Satz "Aus­sa­ge" ge­nannt. Per­sön­li­che Mei­nun­gen sind nicht ein­deu­tig. Daher kann eine per­sön­li­che Mei­nung nie eine Aus­sa­ge im ma­the­ma­ti­schen Sinne sein.

1
Sor­tie­re die Er­eig­nis­se nach ihrer Rei­hen­fol­ge!
(1-7)
  • Die be­fruch­te­te Ei­zel­le nis­tet sich in der Ge­bär­mut­ter ein.
  • Die Ei­zel­le wird be­fruch­tet.
  • Der Em­bryo be­wegt Arme und Beine.
  • Das Herz des Fötus be­ginnt zu schla­gen.
  • Der Em­bryo dreht sich im Mut­ter­leib und rutscht in das Be­cken.
  • Die Ei­zel­le teilt sich.
  • Das Baby wird ge­bo­ren.
2
Schrei­be die rich­ti­gen Wör­ter in die Fel­der!

Phan­ta­sie ist wich­ti­ger als , denn Wis­sen be­grenzt.

n=12n=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1
3
Gib zu jeder Aus­sa­ge aus Auf­ga­be eins an, ob diese (in die­sem Mo­ment) wahr oder falsch ist!
  • Schreib ein­fach w für wahr oder f für falsch hin­ter die je­wei­li­ge Aus­sa­ge.

Du kannst zwei Aus­sa­gen mit­ein­an­der ver­bin­den. Es ent­steht dann wie­der eine neue Aus­sa­ge. Es gibt vier ver­schie­de­ne Mög­lich­kei­ten Aus­sa­gen mit­ein­an­der zu ver­bin­den:

  • Und-​Verknüpfung
  • Oder-​Verknüpfung
  • Dar­aus folgt
  • Äqui­va­lenz
4
No­tie­re Dir die De­fi­ni­tio­nen und die Sym­bo­le für die ver­schie­de­nen Ver­knüp­fun­gen!
(Na­tür­lich erst nach­dem wir diese be­spro­chen haben.)
5
Ver­knüp­fe die fol­gen­den Aus­sa­gen A und B je­weils durch \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \land, \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \lor, \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow und \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Leftrightarrow
Gib je­weils für die ver­knüpf­te Aus­sa­ge den Wahr­heits­wert an. Ein Bei­spiel fin­dest du unten.
  • A: Jede Zahl ist durch 2 ohne Rest teil­bar.
    B: 55 ist durch 5 teil­bar.
  • A: Der Vor­mit­tag geht bis 12 Uhr.
    B: Kühe geben Milch.
  • A: Pin­gui­ne sind Vögel.
    B: Vögel kön­nen flie­gen.

Ein Bei­spiel:
A: 55 ist ein Viel­fa­ches von 11.
B: 6 ist eine un­ge­ra­de Zahl

A

B

A und B

A oder B

Aus A folgt B

A ist gleich B

w

f

f

w

f

f

Aus­schnitt aus einer Wahr­heits­ta­fel.