• Flächen unter nicht-linearen Funktionen
  • Johanna Hartmann
  • 04.11.2023
  • Mathematik
  • Qualifikationsphase 1
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Hö­hen­un­ter­schied mit dem Heiß­luft­bal­lon

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Der Graph zeigt die ver­ti­ka­le Ge­schwin­dig­keit in , mit der ein Heiß­luf­bal­lon an­steigt bzw. fällt.
  • Be­schreibt die Heißluftballon-​Fahrt qua­li­ta­tiv mit Hilfe des Gra­phen.
  • Er­mit­telt nä­he­rungs­wei­se den Hö­hen­un­ter­schied zwi­schen dem Start und einer Flug­dau­er von 48min. Teilt euch dau die Pha­sen des Flu­ges auf.
  • Be­ar­bei­te die Auf­ga­ben­stel­lun­gen in der rechts ver­link­ten
    GeoGebra-​Datei.
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Ver­voll­stän­di­ge den Lü­cken­text zur Idee des be­stimm­ten In­te­grals
Idee des be­stimm­ten In­te­grals

Die ori­en­tier­te Flä­che unter einer nicht-​linearen Funk­ti­on im In­ter­vall kann man mit Hilfe von Ober- und Untersumme an­nä­hern. Dazu teilt man das ge­ge­be­ne In­ter­vall in gleich große Teil­in­ter­val­le, so dass gleich brei­te Rechtecke ent­ste­hen. Die Höhe eines Recht­ecks ist dann Für die Ober­sum­me der größ­te und für die Un­ter­sum­me der kleins­te Funktionswert im je­wei­li­gen Teil­in­ter­vall.

Die Ober­sum­me bzw. Un­ter­sum­me ist dann die Summe der zu­ge­hö­ri­gen Rechtecks-​Flächeninhalte

Je größer ge­wählt wird, desto fei­ner

wird die Ein­tei­lung und desto wei­ter nä­hern

sich Ober- und Un­ter­sum­me an.

Der Grenz­wert

be­schreibt den Flächeninhalt dann exakt. Man nennt ihn das Integral der Funk­ti­on zwi­schen den Gren­zen und .

Man schreibt dafür:

Ober­sum­me (blau) und Un­ter­sum­me (rot)

Integrationsvariable

obere Grenze

untere Grenze

In­te­gral von von bis

Flä­chen­in­halt; Funt­ki­ons­wert; grö­ßer; In­te­gral; In­te­gra­ti­ons­va­ri­a­ble; obere Gren­ze; Recht­ecke; Rechtecks-​Flächeninhalte; un­te­re Gren­ze; Un­ter­sum­me

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