Hö­hen­un­ter­schied mit dem Heiß­luft­bal­lon

Die ori­en­tier­te Flä­che unter einer nicht-​linearen Funk­ti­on $f$ im In­ter­vall $[a;b]$ kann man mit Hilfe von Ober- und an­nä­hern. Dazu teilt man das ge­ge­be­ne In­ter­vall in $n$ gleich große Teil­in­ter­val­le, so dass $n$ gleich brei­te ent­ste­hen. Die Höhe eines Recht­ecks ist dann Für die Ober­sum­me der größ­te und für die Un­ter­sum­me der kleins­te im je­wei­li­gen Teil­in­ter­vall.

Die Ober­sum­me $O_n$ bzw. Un­ter­sum­me $U_n$ ist dann die Summe der zu­ge­hö­ri­gen

Je $n$ ge­wählt wird, desto fei­ner

wird die Ein­tei­lung und desto wei­ter nä­hern

sich Ober- und Un­ter­sum­me an.

Der Grenz­wert $A={\lim }_{n\to \infty }{U}_n={\lim }_{n\to \infty }{O}_n$

be­schreibt den dann exakt. Man nennt ihn das der Funk­ti­on $f$ zwi­schen den Gren­zen $a$ und $b$.

Man schreibt dafür: