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Verhalten von f(x) für x▬►∞

Untersucht man das Verhalten der ganzrationalen Funktion f(x)= a_n^.xⁿ+a_n-1^.x^n-1+...a₁^.x₁+a₀

für x▬►+∞ so ist der Summand mit dem höchsten Exponenten a_n^.xⁿ ausschlaggebend für den Verlauf der Funktion.

a	Exponent n	x▬►+∞	x▬►-∞
positiv	gerade	f(x)▬►+∞	f(x)▬►+∞
positiv	ungerade	f(x)▬►+∞	f(x)▬►-∞
negativ	gerade	f(x)▬►-∞	f(x)▬►-∞
negativ	ungerade	f(x)▬►-∞	f(x)▬►+∞

Symmetrie

Ganzrationale Funktionen, deren Summanden ausschließlich gerade Exponenten enthalten, sind achsensymmetrisch.

Ganzrationale Funktionen, deren Summanden ausschließlich ungerade Exponenten enthalten, sind punktsymmetrisch.

Ganzrationale Funktionen, die gerade und ungerade Exponenten enthalten, sind nicht symmetrisch.

Setzt man für x=0 ein, so erhält man mit f(0) die Stelle, an der der Graph die y-Achse schneidet.

Beispiel:

f(x)= 3x⁴+2x³-5x+3

f(0)= 3^.0⁴+2^.0³-5^.0+3 = 3

Das heißt, der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle +3.

Den Schnittpunkt gibt man meist so an: S(0/3)

Um die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse zu bestimmen, muss man die Nullstellen berechnen.

An diesen Stellen ist f(x)=0.

Möglichkeiten zur Berechnung:

1. x ausklammern, Satz vom Nullprodukt, p,q-Formel

2. Substitution, p,q-Formel