Konstruktion eines Dreiecks um die Winkelhalbierenden
Gesucht ist ein Dreieck ABC, zu welchem die Geraden g, h, l die Winkelhalbierenden sind.
Dazu schlägt Maximilian die folgende Konstruktion vor:
- Wähle einen Punkt A auf g, der von P verschieden ist.
- Der Spiegelpunkt von A an h sei , der Spiegelpunkt von A an l sei .
- Die Schnittpunkte der Geraden g() mit h bzw. l seien B bzw. C.
- ABC ist das gesuchte Dreieck.
Ist diese Konstruktion eigentlich (immer) durchführbar?
Prüfe dafür jeden Schritt und argumentiere!
Schritt 1: Ja, da die Wahl von A auf g\P irrelevant ist, weder Entfernung noch Richtung ändern das Ergebnis.
Schritt 2: Ja, da die Spiegelung eindeutig ist. Und da wir nicht auf einem Blatt Papier arbeiten, sondern einer unendlichen Ebene, ist dies auch immer möglich.
Schritt 3: Ja, denn da sich h und l nur in P schneiden, sind sie nicht identisch.
Deshalb kann auch g() nicht identisch zu h oder l sein, also existieren eindeutige Schnittpunkte.
Als letztes überprüfen wir noch den 4. Schritt:
Liefert die Konstruktion tatsächlich das gesuchte Dreieck?
Man bezeichne den Lotfußpunkt von dem Lot auf h durch A mit
den Fußpunkt vom Lot auf l durch A mit und g(, ) ∩ g = : {}.
Um zu zeigen, dass g, h & l tatsächlich
Winkelhalbierende sind, muss gelten:
(i) = (ii) = (iii) =
Beweis:
(i) =
Man betrachte und .
Diese haben folgendes gemeinsam:
- =
- = = 90
- als gemeinsame Seite
Mit dem Kongruenzsatz SWS folgt nun
.
(ii) =
Tipp: Suche wie bei (i) 2 geeignete Dreiecke,
beweise analog und zeichne eine Skizze!
Man betrachte & .
Diese haben folgendes gemeinsam:
- =
- = = 90
- als gemeinsame Seite
SWS
.
(iii) =
Seien D, E und F Lotfußpunkte der Lote
auf durch P.
Das ADPE können wir über die beiden
gegenüberliegenden rechten Winkel und die
gleichlangen Seiten , sowie als Drachen identifizieren, mit g als der
Diagonale, welche die andere halbiert.
Also ist g auch die Winkelhalbierende für
und
.
