• GeoDid Serie 5 - A3
  • anonym
  • 26.01.2021
  • Mathematik
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Konstruktion eines Dreiecks um die Winkelhalbierenden

Gegeben seien drei Geraden g, h, l, die sich im Punkt P schneiden.
Gesucht ist ein Dreieck \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \triangleABC, zu welchem die Geraden g, h, l die Winkelhalbierenden sind.
Dazu schlägt Maximilian die folgende Konstruktion vor:

  • Wähle einen Punkt A auf g, der von P verschieden ist.
  • Der Spiegelpunkt von A an h sei Ah\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_h, der Spiegelpunkt von A an l sei Al\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_l.
  • Die Schnittpunkte der Geraden g(Ah;Al\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_h;A_l) mit h bzw. l seien B bzw. C.
  • \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \triangleABC ist das gesuchte Dreieck.

Ist diese Konstruktion eigentlich (immer) durchführbar?

Prüfe dafür jeden Schritt und argumentiere!



Schritt 1: Ja, da die Wahl von A auf g\P irrelevant ist, weder Entfernung noch Richtung ändern das Ergebnis.



Schritt 2: Ja, da die Spiegelung eindeutig ist. Und da wir nicht auf einem Blatt Papier arbeiten, sondern einer unendlichen Ebene, ist dies auch immer möglich.



Schritt 3: Ja, denn da sich h und l nur in P schneiden, sind sie nicht identisch.

Deshalb kann auch g(A_h;A_l\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A\_h;A\_l) nicht identisch zu h oder l sein, also existieren eindeutige Schnittpunkte.

Als letztes überprüfen wir noch den 4. Schritt:

Liefert die Konstruktion tatsächlich das gesuchte Dreieck?



Man bezeichne den Lotfußpunkt von dem Lot auf h durch A mit

Fh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F_{h} den Fußpunkt vom Lot auf l durch A mit Al\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_{l} und g(Ah\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_{h}​, Al\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} A_{l}​) ∩ g = : {Fg\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} F_{g}}.



Um zu zeigen, dass g, h & l tatsächlich

Winkelhalbierende sind, muss gelten:

(i) β1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \beta_1 = β2            \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \beta_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (ii) γ1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \gamma_1 = γ2            \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \gamma_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (iii) α1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \alpha_1 = α2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \alpha_2



Beweis:

(i) β1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \beta_1 = β2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \beta_2

Man betrachte BAlFl\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \triangle BA_lF_l und BAFl\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \triangle BAF_l.

Diese haben folgendes gemeinsam:

- AlFl\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overline{A_lF_l}|=AFl\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overline{AF_l}|

- BFlAl\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\angle{BF_lA_l}|=BFlA\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\angle{BF_lA}| = 90°\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \degree

- BFl\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{BF_l} als gemeinsame Seite



Mit dem Kongruenzsatz SWS folgt nun

BAlPBAP\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\triangle{BA_lP}| \cong |\triangle{BAP}|

β1=β2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow \beta_1=\beta_2.









(ii) γ1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \gamma_1 = γ2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \gamma_2

Tipp: Suche wie bei (i) 2 geeignete Dreiecke,

beweise analog und zeichne eine Skizze!

Man betrachte CFhAh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \triangle CF_hA_h & CAFh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \triangle CAF_h.

Diese haben folgendes gemeinsam:

- AhFh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overline{A_hF_h}|=FhA\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\overline{F_hA}|

- CFhAh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\angle{CF_hA_h}|=CFhA\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} |\angle{CF_hA}| = 90°\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \degree

- CFh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{CF_h} als gemeinsame Seite

SWS CFhAhCAFh\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow |\triangle{CF_hA_h}| \cong |\triangle{CAF_h}|

γ1=γ2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow \gamma_1=\gamma_2.



(iii) α1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \alpha_1 = α2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \alpha_2

Seien D, E und F Lotfußpunkte der Lote

auf AB,AC bzw. BC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{AB}, \overline{AC} \ bzw. \ \overline{BC} durch P.

Das \gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \squareADPE können wir über die beiden

gegenüberliegenden rechten Winkel und die

gleichlangen Seiten DP,PE\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{DP}, \overline{PE} , sowie EA,AC\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \overline{EA}, \\ \overline{AC} als Drachen identifizieren, mit g als der

Diagonale, welche die andere halbiert.

Also ist g auch die Winkelhalbierende für

DPE\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \angle{DPE} und EAD=α\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \angle{EAD}=\alpha

α1=α2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2.

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