Als letztes überprüfen wir noch den 4. Schritt:
Liefert die Konstruktion tatsächlich das gesuchte Dreieck?
Man bezeichne den Lotfußpunkt von dem Lot auf h durch A mit
Fh den Fußpunkt vom Lot auf l durch A mit Al und g(Ah, Al) ∩ g = : {Fg}.
Um zu zeigen, dass g, h & l tatsächlich
Winkelhalbierende sind, muss gelten:
(i) β1 = β2 (ii) γ1 = γ2 (iii) α1 = α2
Beweis:
(i) β1 = β2
Man betrachte △BAlFl und △BAFl.
Diese haben folgendes gemeinsam:
- ∣AlFl∣=∣AFl∣
- ∣∠BFlAl∣=∣∠BFlA∣ = 90°
- BFl als gemeinsame Seite
Mit dem Kongruenzsatz SWS folgt nun
∣△BAlP∣≅∣△BAP∣
⇒β1=β2.
(ii) γ1 = γ2
Tipp: Suche wie bei (i) 2 geeignete Dreiecke,
beweise analog und zeichne eine Skizze!
Man betrachte △CFhAh & △CAFh.
Diese haben folgendes gemeinsam:
- ∣AhFh∣=∣FhA∣
- ∣∠CFhAh∣=∣∠CFhA∣ = 90°
- CFh als gemeinsame Seite
SWS ⇒∣△CFhAh∣≅∣△CAFh∣
⇒γ1=γ2.
(iii) α1 = α2
Seien D, E und F Lotfußpunkte der Lote
auf AB,AC bzw. BC durch P.
Das □ADPE können wir über die beiden
gegenüberliegenden rechten Winkel und die
gleichlangen Seiten DP,PE , sowie EA,AC als Drachen identifizieren, mit g als der
Diagonale, welche die andere halbiert.
Also ist g auch die Winkelhalbierende für
∠DPE und ∠EAD=α
⇒α1=α2.