Name:

Thema: im Raum

Datum:

Finde deinen Punkt im Raum.

Auf diesem Blatt werdet ihr wahrscheinlich auf Begriffe stoßen, die ihr noch nicht kennt. Deswegen habe ich versucht diese Begriffe so gut wie möglich durch Beispiele, Erklärungen und Zeichnungen verständlich zu machen. Manchmal hilft euch auch das Lösen der nächsten Aufgabe dabei, den Begriff zu verstehen.

1

Teilt die Zahlen -2, -1, 0, 1, 2 zwischen euch auf. Falls ihr mehr als 5 Personen in der Gruppe seid, dann suchen sich 2 Personen eine Zahl aus ohne diese den anderen zu verraten.

2

Berechne den Ortsvektor von deinem Punkt im Raum, indem du deine Zahl für den Parameter r in die folgende Linearkombination einsetzt:

443 + r \cdot - 1, 5 21

443 + r \cdot - 1, 5 21 = a b c

Dein Punkt: P=

(a ∣ b ∣ c)

Mit Linearkombination sind Vektoren gemeint, die mit einer Zahl (als Skalar) multipliziert und und dann addiert werden.

Nehmt jetzt euer iPad mit und geht in den anderen Raum. Sucht euch dort ein Koordinatensystem für eure Gruppe aus und halte deinen Punkt an die passende Stelle eures Koordinatensystems.

3

Zwei von euch nehmen sich jetzt eine Schnur. Jede:r von euch beiden darf die Schnur nur an einer Stelle festhalten. Spannt die Schnur so auf, dass sie alle Punkte berührt.

4

Die Schnur stellt ein sogenanntes mathematisches Objekt dar. Stellt eine Vermutung für den Namen dieses Objekts auf. In dem Merkkasten kommt an jede Stelle das gleiche Wort:

Die Schnur stellt eine dar. Eine solche ist im Prinzip nicht die Schnur selbst, sondern unendlich viele Punkt in einer n Linie.

Eure hat die Gleichung:

$g : x = a c b + r \cdot - 1, 5 21$

5

Schaue dir den Graphen auf Logineo an und probiere den Schieberegler/Slider oder den Punkt zu verschieben, um die Gerade als ganz viele Punkte darzustellen.

Name:

Geraden im Raum

Datum:

Stützvektor und Richtungsvektor

Eine Gerade g beschreibt alle Punkte $x$ , die erreicht werden können, indem wir vom Ursprung (0|0) aus erst den Stützvektor $s$ und dann r-mal den Richtungsvektor $r$ entlanggehen. Was das bedeutet, schauen wir uns gleich anhand einer Zeichnung an.

Mathematisch gesehen können wir alle Punkte $x$ der Geraden g erreichen, indem wir den Stützvektor $s$ mit dem r-fachen des Richtungsvektors $r$ addieren.

Die allgemeine Gleichung für eine Gerade können wir deswegen wie folgt schreiben:

$g : x = s + r \cdot r$

Stützvektor

Richtungsvektor

6

Erreiche den Punkt ( 7 | 1 ) auf der Geraden, indem du einmal den Stützvektor und mehrmals den Richtungsvektor einzeichnest.
Fange dazu beim Ursprung an zu zeichnen. Zeichne erst den Stützvektor und dann mehrmals den Richtungsvektor ein, um zu dem gesuchten Punkt auf der Geraden zu gelangen.

$(- 2 - 2)$

$(31)$

7

Trage in der Gleichung unten ein, wie oft du den Richtungsvektor verwenden musstest, um zu dem Punkt ( 7 | 1 ) zu gelangen.

$(71) = (- 2 - 2) + 3 \cdot (31)$

Name:

Geraden im Raum

Datum:

8

Zeichnet die Punkte der Geraden ein, die entstehen, wenn man für den Parameter r die Werte 1, 4, -1 und

\frac{1}{2}

einsetzt.
Fangt dazu beim Ursprung an zu zeichnen. Zeichnet erst den Stützvektor und dann mehrmals den Richtungsvektor ein, um zu den gesuchten Punkten auf der Geraden zu gelangen.

g : x = (13) + r \cdot (2 - 1)

Stützvektor

Richtungsvektor

$(2 - 1)$

$(13)$

Um unterschiedliche Punkte auf unserer Geraden zu erreichen, verändern wir den r. Daher sagen wir auch, dass die Schreibweise $g : x = s + r \cdot r$ eine gleichung der Geraden beziehungsweise eine Gerade in form ist.

9

Markiere in den folgenden Gleichungen den Stützvektor und den Richtungsvektor mit zwei verschiedenen Farben.

$g_{1} : x = (13) + r \cdot (2 - 1)$

$g_{2} : x = 5 - 4 2, 5 + r \cdot - 8 2 - 1$

$g_{3}$ : $x = 7 - 3 - 2 + r \cdot 6 - 0, 3 2, 75$

10

Suche das passende r. Finde heraus, ob die folgenden Punkte auf der Geraden

g_{2} : x = 5 - 4 - 2, 5 + r \cdot - 8 2 - 1

liegen. Suche dazu nach passenden Zahlen, um diese für r in die Gleichung einzusetzen.

$- 11 0 - 4, 5$

$13 - 6 - 1, 5$

Name:

Geraden aufstellen

Datum:

Eine eigene Gerade aufstellen

11

Stelle eine eigene Gleichung für eine Gerade auf. Schaue dir dazu nochmal die Formel für eine allgemeine Geradengleichung (in Gelb auf Blatt 2) an.

g : x = (a b) + r \cdot (a b)

12

Arbeitet zu zweit oder zu dritt zusammen und gebt euch Feedback zu euren Gleichungen. Wurde alles formal korrekt aufgeschrieben. Fehlt irgendetwas?

13

Tragt die passenden Geraden zu allen euren Gleichungen in das Koordinatensystem ein. Vergleicht eure Zeichnungen. Ihr solltet alle die gleichen Geraden eingezeichnet haben.

Geraden im Raum

Finde dei­nen Punkt im Raum.

Stütz­vek­tor und Rich­tungs­vek­tor

Eine ei­ge­ne Ge­ra­de auf­stel­len

Geraden im Raum

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Stützvektor und Richtungsvektor

Eine eigene Gerade aufstellen