Im Radsport orientieren sich die Fahrer an Höhen- profilen der Strecke um sich vorzubereiten. An ihnen erkennen sie, wie sie ihre Kräfte einteilen müssen. Besonders wichtig hierfür ist die Steigung an einzelnen Stellen und Streckenabschnitten, denn von ihr hängt der Kraftaufwand ab, den man betreiben muss, um die entsprechende Strecke hinter sich zu lassen.
Die Steigung des Graphen einer Funktion f im Punkt P bzw. die Steigung des Graphen von f an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0| f(x0)). Man nennt diese Steigung Ableitung von f an der Stelle x0 und schreibt f′(x0).
In der Abbildung ist der Graph einer Funktion f gegeben. Im Koordinatensystem darunter wurde die Steigung des Graphen für zwei Punkte eingetragen. Trage in das untere Koordinatensystem näherungsweise die Tangentensteigungen für weitere Punkte des Graphen ein.
Verbindet man die Punkte im unteren Koordinatensystem miteinander, erhält man so ungefähr den Verlauf eines Graphen der Funktion f′(x). Dieser Graph ist der Graph der Ableitungsfunktion von f.
- In welchen Intervallen ist die Steigung des Graphen positiv, in welchen negativ?
- In welchen Punkten verlaufen die Tangenten waagerecht, also parallel zur x-Achse und welchen Wert hat die Ableitung an dieser Stelle?
- In welchen Punkten durchsetzt die Tangente den Graphen von f und wie verhält sich die Ableitung links bzw. rechts von diesem Punkt?
Welche Besonderheit ergibt sich für die Ableitung an solchen Stellen und wie wirkt sich dies bei der Tangentensteigungskurve aus?
