Graphen von Exponentialfunktionen

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Name:

18.12.2024

Die waagerechten Asymptoten

Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion f mit $f (x) = 2^{x}$ .

Für einzelne Funktionswerte ergibt sich folgende Tabelle:

x	-10	-5	-2	-1	0	1
f(x)	$\frac{1}{1024}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$

Wird x um 1 kleiner, so sich der Funktionswert jeweils. Deshalb näher sich der Graph von $f$ für $x \to - \infty$ der Geraden mit Gleichung , berührt sie aber nie. Diese Gerade ist die Asymptote des Graphen.

e-Funktion, euler'sche Zahl

Eine besondere Zahl ist die euler'sche Zahl $e$ . Es gilt $e \approx 2, 72$ .

Gleichungen der Form $f (x) = 3 e^{x} - 1$ werden in der Differenzialrechnung wichtig werden. $e$ ist also keine Variable, deren Wert bestimmt werden muss. Ob in der Gleichung $e^{x}$ oder $2^{x}$ steht, ist für die Bestimmung des Graphen im Prinzip egal.

Auf welcher Seite wird sich der Asymptote genähert?

$f_{1} (x) = 3^{x}$

$f_{2} (x) = 0. 5^{x}$

$f_{3} (x) = e^{x}$

$f_{4} (x) = e^{- x}$

Für Funktionen der Form $f (x) = b^{x}$ gilt:

Ist $b > 1$ , so nehmen die Funktionswerte für $x \to - \infty$ ab. Der Graph nähert sich der Asymptote also auf der Seite. Sonst nehmen die Funktionswerte für $x \to + \infty$ ab. Der Graph nähert sich der Asymptote also auf der Seite.

Für Funktionen der Form $f (x) = e^{k x}$ folgt daraus nach den Potenzgesetzen:

Der Graph nähert sich der Asymptoten für $x \to - \infty$ , wenn $k > 0$ ist, und für $x \to \infty$ sonst.

Name:

Graphen von Exponentialfunktionen

18.12.2024

Graphen von Funktionen der Form $f (x) = a \cdot e^{\pm x} + d$

Der Graph der Funktion f mit $f (x) = a \cdot e^{x} + d$ besitzt die Asymptote mit der Gleichung $y = d$ . Er schneidet die y-Achse im Punkt $Y (0∣ a + d)$ .

Er nähert sich seiner Asymptoten für $x \to - \infty$ an.

Der Graph der Funktion f mit $f (x) = a \cdot e^{- x} + d$ besitzt die Asymptote mit der Gleichung $y = d$ . Er schneidet die y-Achse im Punkt $Y (0∣ a + d)$ .

Er nähert sich seiner Asymptoten für $x \to \infty$ an.

$f (x) = 2 e^{x} + 1$

Die abgebildeten Graphen gehören jeweils zu einer Funktion f mit

f (x) = a \cdot e^{\pm x} + d

. Geben Sie jeweils den y-Achsenschnittpunkt

Y

, die Gleichung der Asymptoten und die Funktionsgleichung an.

$Y (0 ∣ 3)$ , Asymptote $y = 2$
$\Rightarrow a = 3 - 2 = 1; d = 2$
$\Rightarrow f (x) = 1 e^{+ x} + 2$
$Y (0 ∣ 3, 5)$ , Asymptote $y = 2$
$\Rightarrow a = 3, 5 - 2 = 1, 5; d = 2$
$\Rightarrow f (x) = 1, 5 e^{- x} + 2$
$Y (0 ∣ 0, 5)$ , Asymptote $y = 1, 5$
$\Rightarrow a = 0, 5 - 1, 5 = - 1; d = 1, 5$
$\Rightarrow f (x) = - e^{+ x} + 1, 5$
$Y (0 ∣ 1, 5)$ , Asymptote $y = - 1$
$\Rightarrow a = 1, 5 - (- 1) = 2, 5; d = - 1$ $\Rightarrow f (x) = 2, 5 e^{- x} - 1$
$Y (0 ∣ 0)$ , Asymptote $y = - 2$
$\Rightarrow a = 0 - (- 2) = 2; d = - 2$ $\Rightarrow f (x) = 2 e^{+ x} - 2$

Abgebildet sind die Graphen der Funktionen f mit

f (x) = 2 e^{x} - 1

und g mit

g (x) = 2 e^{x} - 0, 5 x - 1

.
Der Graph von g besitzt eine sogenannte schiefe Asymptote. Erklären Sie, wie es dazu kommt.