Hebelgesetz

1. Hebelgesetz (wenn 2 Kräfte wirken):

Am Hebel herrscht ein Gleichgewicht, wenn das linksdrehende Moment gleich dem rechtsdrehenden Moment ist.

$M_{L} = M_{R}$

linksdrehendes Moment

(gegen den Uhrzeigersinn)

rechtsdrehendes Moment

(im Uhrzeigersinn)

$(F_{1} \cdot l_{1} = F_{2} \cdot l_{2})$

Mathematisch ausgedrückt:

Die Summe $\sum$ aller Momente ist gleich null!

$\sum$ = griechischer Buchstabe Sigma (Zeichen für Summe).

2. Hebelgesetz (wenn mehr als 2 Kräfte wirken):

Am Hebel herrscht ein Gleichgewicht, wenn die Summe der linksdrehenden Momente gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist.

$\sum M_{L} = \sum M_{R}$

linksdrehendes Moment

(gegen den Uhrzeigersinn)

rechtsdrehendes Moment

(im Uhrzeigersinn)

$(F_{1} \cdot l_{1} + F_{2} \cdot l_{2} + F_{3} \cdot l_{3} = F_{4} \cdot l_{4} + F_{5} \cdot l_{5})$

Beispiel für einen Hebel, an dem mehr als 2 Kräfte wirken:

Einfaches Rechenbeispiele zum Hebelgesetz:

Schau dir zunächst die Beispielrechnung an und versuche anschließend, das zweite Rechenbeispiel eigenständig zu lösen!

Berechne die Hubkraft (= Gegenkraft) des Krans. Achte beim Rechnen auf die richtigen Maßeinheiten!

Folgende Kräfte und Längen sind bekannt:

F_{G}

= 30 kN|

l_{1}

= 2.000 mm + 1.500 mm = 3.500 mm

F_{W}

= 50 kN |

l_{2}

= 1.500 mm

F_{A}

= 12 kN |

l_{3}

= 2.800 mm - 1.500 mm = 1.300 mm

F_{H}

= ? |

l_{4}

= 6.000 mm - 1.500 mm = 4.500 mm

Formel:

F_{G} \cdot l_{1} + F_{W} \cdot l_{2} = F_{A} \cdot l_{3} + F \cdot l_{4}

1. Schritt: Formel umstellen, damit F (entspricht der Gegenkraft

F_{H}

) freigestellt wird.

F = \frac{F _{G} \cdot l _{1} + F _{W} \cdot l _{2} - F _{A} \cdot l _{3}}{l _{4}}

2. Schritt:

mm

in

m

umwandeln.
3.500 mm = 3,5 m| 1.500 mm = 1,5 m
1.300 mm = 1,3m | 4.500 mm = 4,5 m

3. Schritt:

k N

in

N

umwandeln.
30 kN = 30.000 N | 50 kN = 50.000 N | 12 kN = 12.000 N

4. Schritt: Zwischenergebnisse in Formel einsetzen und ausrechnen.

F = \frac{30.000 N \cdot 3 , 5 m + 50.000 N \cdot 1 , 5 m - 12.000 N \cdot 1 , 3 m}{4 , 5 m}

F = \frac{105.000 N m + 75.000 N m - 15.600 N m}{4 , 5 m}

F = \frac{180.000 N m - 15.600 N m}{4 , 5 m}

F = \frac{164.400 N m}{4 , 5 m}

F = 36.533 N -

F

ist die Gegenkraft zu

F_{H}

und ist gleich groß.

Beispiel:

Ein Vater (80 kg) geht mit seiner Tochter (32 kg) auf den Spielplatz. Sie setzen sich auf die Kinderwippe, deren Sitze jeweils 2 m vom Drehpunkt entfernt sind.
Wie weit vom Drehpunkt der Wippe entfernt muss der Vater sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Lösung

Formel:

M_{L} = M_{R}

F_{1} \cdot l_{1} = F_{2} \cdot l_{2}

1. Schritt: Gewichtskraft von Vater und Tochter berechnen.

G = m [k g] \cdot g [m / s^{2}]

G_{V} = F_{1} = 80 k g \cdot 9, 81 m / s^{2} = 784, 8 N

G_{T} = F_{2} = 32 k g \cdot 9, 81 m / s^{2} = 313, 92 N

2. Schritt: Formel umstellen, sodass die Länge

l_{1}

(=Vater) freigestellt wird.

F_{1} \cdot l_{1} = F_{2} \cdot l_{2}

l_{1} = \frac{F _{2} \cdot l _{2}}{F _{1}}

3. Schritt: Zwischenergebnisse in Formel einsetzen und ausrechnen.

l_{1} = \frac{F _{2} \cdot l _{2}}{F _{1}}

l_{1} = \frac{313 , 92 N \cdot 2 m}{784 , 8 N}

l_{1} = \frac{627 , 84 N}{784 , 8 N} = 0, 8 m

Lösung: Der Vater muss 0,8 m vom Drehpunkt entfernt sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist.

Und jetzt du:

1

Wie lautet der griechische Buchstabe für das Summenzeichen?

2

Wie lautet die Formel für das Hebelgesetz, wenn zwei Kräfte wirken?

3

Wie lautet die Formel für das Hebelgesetz, wenn mehr als zwei Kräfte wirken?

4

Finde vier Wörter, die mit dem Hebelgesetz zu tun haben.

M

Ä

H

E

B

E

L

Ä

N

G

E

N

I

O

E

V

E

S

B

Ö

U

M

V

R

K

F

L

Ö

N

P

U

A

W

K

O

B

N

E

W

T

O

N

M

E

T

E

R

L

S

K

D

N

E

C

I

N

Ö

X

A

O

B

O

X

G

T

O

Q

R

E

Z

O

B

E

D

R

E

H

M

O

M

E

N

T

X

E

T

S

C

M

J

H

X

W

Z

P

Ü

S

D

L

J

S

I

G

M

A

G

Y

Q

I

Y

H

G

S

E

F

U

M

Hinweis zum Einsatz im Unterricht

He­bel­ge­setz

Und jetzt du:

Hebelgesetz