TitelIntegralrechnung: Stammfunktionen und Hauptsatz
AutorSimon Brückner
veröffentlicht05.04.2021
FachMathematik
Klassenstufe11

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Integralrechnung

3 Stammfunktionen

$F$ heißt Stammfunktion von $f$ , wenn $f$ die Ableitungsfunktion von $F$ ist:

$F^{'} (x) = f (x)$

$f$ beschreibt also die momentane Änderung von $F$ . Da man den Graphen von $F$ in y-Richtung verschieben kann, ohne seine momentane Änderung zu verändern, ist die Stammfunktion nur bis auf einen Summanden $C \in R$ eindeutig.

Aus den Ableitungsregeln ergeben sich folgende Regeln für Stammfunktionen:

Ist $f$ eine Funktion, so gilt für ihre Stammfunktion $F$ :

Außerdem gilt:

Ist $G$ eine Stammfunktion von $g$ , so ist $F + G$ eine Stammfunktion von $f + g$ .

$f (x) = a x^{k}$	$F (x) = \frac{a}{k + 1} x^{k + 1} + C$
$f (x) = a e^{b x}$	$F (x) = \frac{a}{b} e^{b x} + C$
$f (x) = a \cdot s in (b x)$	$F (x) = - \frac{a}{b} \cdot cos (b x) + C$
$f (x) = a \cdot cos (b x)$	$F (x) = \frac{a}{b} \cdot s in (b x) + C$

Zur Kontrolle die Stammfunktion ableiten.

4 Berechnung bestimmter Integrale

Stammfunktionen helfen bei der Berechnung von Integralen:

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ so gilt

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Beispiel:

$\int_{1}^{3} x^{2} + 4 d x = [\frac{1}{3} x^{3} + 4 x]_{1}^{3} = (\frac{1}{3} 3^{3} + 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} 1^{3} + 4 \cdot 1) = 21 - \frac{13}{3} = \frac{50}{3}$

Aufgabe:

$\int_{0}^{2} - x^{2} + 2 x d x = [- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}]_{0}^{2} = - \frac{1}{3} 2^{3} + 2^{2} - (- \frac{1}{3} 0^{3} + 0^{2}) = \frac{4}{3}$
$\int_{1}^{3} 4 x^{3} d x = 80$
$\int_{0}^{π} - sin (x) d x = - 2$
$\int_{0}^{4} e^{0, 5 x} d x = 2 e^{2} - 2 \approx 12, 78$