• Integralrechnung: Stammfunktionen und Hauptsatz
  • Simon Brückner
  • 25.02.2021
  • Mathematik
  • 11
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  • Integralrechnung

    3 Stammfunktionen

    F\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F heißt Stammfunktion von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f, wenn f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f die Ableitungsfunktion von F\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F ist:
    F(x)=f(x)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} F'(x)=f(x)
    f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f beschreibt also die momentane Änderung von F\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F. Da man den Graphen von F\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F in y-Richtung verschieben kann, ohne seine momentane Änderung zu verändern, ist die Stammfunktion nur bis auf einen Summanden CR\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small C\in\mathbb{R} eindeutig.

    Aus den Ableitungsregeln ergeben sich folgende Regeln für Stammfunktionen:
    Ist f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f eine Funktion, so gilt für ihre Stammfunktion F\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F:


    Außerdem gilt:
    Ist G\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small G eine Stammfunktion von g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g, so ist F+G\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F+G eine Stammfunktion von f+g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f+g.

    f(x)=axk\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a x^k

    F(x)=ak+1xk+1+C\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} F(x)=\frac{a}{k+1}x^{k+1}+C

    f(x)=aebx\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a e^{bx}

    F(x)=abebx+C\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} F(x)=\frac{a}{b}e^{bx}+C

    f(x)=asin(bx)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot sin(bx)

    F(x)=abcos(bx)+C\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} F(x)=-\frac{a}{b}\cdot cos(bx)+C

    f(x)=acos(bx)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot cos(bx)

    F(x)=absin(bx)+C\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} F(x)=\frac{a}{b}\cdot sin(bx)+C

    Zur Kontrolle die Stammfunktion ableiten.

    4 Berechnung bestimmter Integrale

    Stammfunktionen helfen bei der Berechnung von Integralen:
    Ist F\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small F eine Stammfunktion von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f so gilt

    abf(x)dx=F(b)F(a)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \huge \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)

    Beispiel:
    13x2+4 dx=[13x3+4x]13=(1333+43)(1313+41)=21133=503\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \int_{1}^{3}x^2+4 \space dx=\left[\frac{1}{3}x^3+4x \right]_1^3=\left(\frac{1}{3}3^3+4\cdot3\right)-\left(\frac{1}{3}1^3+4\cdot1\right)=21-\frac{13}{3}=\frac{50}{3}

    Aufgabe:
    • 02x2+2x dx=[13x3+x2]02=1323+22(1303+02)=43\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\int_0^2 -x^2+2x\space dx=\left[\cloze{\small -\frac{1}{3}x^3+x^2}\right]_\cloze{\small0}^\cloze{\small2}=\cloze{\small -\frac{1}{3}2^3+2^2}-\left(\cloze{\small -\frac{1}{3}0^3+0^2}\right)=\cloze{\small\frac{4}{3}}
    • 134x3 dx=80\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\int_1^3 4x^3\space dx=\cloze{\small80}
    • 0πsin(x) dx=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\int_0^\pi -\sin(x)\space dx=\cloze{\small-2}
    • 04e0,5x dx=2e2212,78\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small\int_0^4 e^{0{,}5x}\space dx=\cloze{\small2e^2-2\approx12{,}78}