Kombinatorik

Seite 1

12.11.2025

Erarbeitung der Kombinatorikformeln

Die Aufgaben des ersten Blattes dienen der Wiederholung und Festigung der Grundlagen aus Klasse 8. Nutzt in den folgenden Blättern die Prinzipien des ersten Blattes.

1

In der Mensa gibt es zwei Vorspeisen (Salat, Suppe), vier Hauptgerichte (Schnitzel, Nudeln, Chili, Auflauf) und drei Nachspeisen (Kuchen, Pudding, Cookie).

Wie viele Möglichkeiten hat man eine Vorspeise, ein Hauptgericht und eine Nachspeise zu kombinieren? Gib deinen Rechenweg und das Ergebnis an.
Zwei Freunde wollen sich eine Vorspeise, zwei unterschiedliche Hauptgerichte und eine Nachspeise teilen. Berechne wie viele Möglichkeiten die beiden haben ihre Auswahl zusammenzustellen.
Verallgemeinere deine Berechnung für k Gänge und n₁ bis n_k Gerichte pro Gang und fülle damit die Lücke des Merksatzes:

Fundamentalprinzip des Zählens / Produktregel

$\to$ Aus k Mengen M₁, M₂, ... , M_n mit n₁, n₂, ... , n_k Elementen lassen sich verschiedene k-Tupel bilden.

2

Wie viele unterschiedliche 5-stellige Zahlen können aus den Ziffern 4,5,7,8 und 2 gebildet werden, wenn keine Ziffer mehrfach vorkommen darf.
Verallgemeinere deine Berechnung für n-stellige Zahlen und n Ziffern und fülle die Lücken des Merksatzes. Begründe deine Formel in Worten.

Definition: Permutation ohne Wiederholung

$\to$ Für n verschiedene Objekte gibt es = ( $n ϵ N$ ) Permutationen (Anordnungsmöglichkeiten). Im Urnenmodell bedeutet dies eine geordnete Stichprobe Zurücklegen vom Umfang n aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln. Per Definition gilt: 0!=1 und 1!=1.

Kombinatorik

Seite 2

12.11.2025

Wiederholung nicht zugelassen, Reihenfolge bedeutsam

3

Für das Weihnachtsvolleyballturnier haben sich 8 Teams gemeldet. Ermittle wie viele Möglichkeiten es für die Besetzung der ersten drei Plätze gibt.
Verallgemeinere deine Rechnung für n Teams und k Plätze und fülle damit die Lücke im Merkkasten. Beachte dabei dass immer n $\geq$ k gilt. Begründe deine Formel mit Worten.

Definition: Variation ohne Wiederholung

Aus einer Menge von n Elementen erhält man durch k-faches Ziehen =

geordnete Stichproben ohne Zurücklegen.

Diese kombinatorische Figur wird auch als Variation ohne Wiederholung mit Beachtung der Reihenfolge aus einer Menge von n Elementen bezeichnet.

Wiederholung zugelassen, Reihenfolge bedeutsam

4

Berechne wie viele Möglichkeiten es gibt, einen 4-stelligen Zahlencode eines Zahlenschlosses mit den Ziffern 0-9 zu erstellen ?
Verallgemeinere deine Rechnung für n Ziffern und k Stellen und fülle damit die Lücke im Merkkasten. Begründe deine Formel in Worten.

Definition: Variation mit Wiederholung

$\to$ Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es = ( $n, k ϵ N$ ) Möglichkeiten, eine geordnete Stichprobe vom Umfang k aus n Elementen mit Zurücklegen zu ziehen. Diese Stichproben werden Variation mit Wiederholung bezeichnet.

Kombinatorik

Seite 3

12.11.2025

Wiederholung nicht zugelassen, Reihenfolge nicht bedeutsam

5

Beim Lotto besteht ein Tipp aus 6 Zahlen, die man aus 49 Zahlen auswählt. Wie viele verschiedene Tipps sind bei 6 aus 49 möglich? Zur Vereinfachung könnt ihr auch erst mit 3 aus 5 Zahlen arbeiten.
Verallgemeinere deine Rechnung für eine Ziehung von k aus n und fülle damit die Lücke im Merkkasten. Beachte dabei dass immer n $\geq$ k gilt. Begründe deine Formel kurz.

Definition: Kombination ohne Wiederholung

Entnimmt man k Elemente aus einer Menge von n Elementen, so gibt es

= $(n k)$ ungeordneten Stichproben Zurücklegen. Diese werden auch als Kombinationen ohne Wiederholung bezeichnet. Der Ausdruck $(n k)$ ist als Binomialkoeffizient (n über k) definiert und $(n 0) = 1 (n 1) = n (n n) = 1$

Wiederholung zugelassen, Reihenfolge nicht bedeutsam

6

Der Mathe-Test einer Klasse von 15 Schülerinnen und Schülern wurde mit den Noten 1 bis 5 benotet. Wie viele Möglichkeiten der Notenverteilung gibt es. Veranschauliche und erläutere dein Vorgehen und deine Annahmen.
Verallgemeinere deine Rechnung für n Noten und k Schülerinnen und Schüler und fülle damit die Lücke im Merkkasten. Veranschauliche und erläutere dein Vorgehen und deine Annahmen. Schreibe deine Formel als Binomialkoeffizient

Kombinatorik

Seite 4

12.11.2025

Definition: Kombination mit Wiederholung

$\to$ Zieht man k Elemente aus einer Menge von n Elementen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge, so gibt es

ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen vom Umfang k

Diese werden auch als heißt

Kombinationen mit Wiederholung bezeichnet.

Wiederholung vorgegeben, Reihenfolge bedeutsam

7

Wie viele verschiedene Worte (aus 6 Buchstaben) kann man aus WETTER bilden ?
Verallgemeinere deine Rechnung für Ketten der Länge k, mit n verschiedenen Zeichen, und k₁ bis k_n Vielfachheiten der Zeichen und fülle damit die Lücke im Merkkasten. Begründe in Worten deine Formel.
*Wie könnte man die Formel über Binomialkoeffizienten herleiten?

k-stelliges Tupel bei vorgegebenen Vielfachheiten

Aus einer Menge von n verschiedenen Elementen mit den Vielfachheiten k₁ bis k_n kann man

k-stellige Tupel bilden, für die gilt: Das Element a_i kommt genau k_i mal vor (k_i $\geq$ 1) für alle n $\geq$ i $\geq$ 1 und die Summe aller k_i ist k.

Kombinatorik

Seite 5

12.11.2025

Übersicht kombinatorische Figuren

Allgemein gilt:

n... Mächtigkeit der Grundmenge k...Mächtigkeit der Stichprobe

-> n $\geq$ k

k₁bis k_n... Vielfachheit der Elemente

Kombinatorik

Seite 6

12.11.2025

Übungsaufgaben

Berechnet folgende Aufgaben. Gebt euren Rechenweg an. Aufgaben mit * sind etwas schwieriger.

8

Bei einem Lottospiel werden aus einer Lostrommel mit 35 Zahlen genau fünf gezogen. Wie viele Tippscheine müsste man ausfüllen, um mit Sicherheit einen Hauptgewinn zu haben, wenn

die Reihenfolge interessant ist und die Kugeln nicht zurückgelegt werden
die Reihenfolge unwichtig ist und die Kugeln nicht zurückgelegt werden.
die Reihenfolge nicht von Bedeutung ist, die gezogenen Kugeln aber immer zurückgelegt werden ?

9

Wie viele verschiedene Worte mit 11 Buchstaben kann man aus ABRAKADABRA bilden? Wie kann man dies mittels Binomialkoeffizienten berechnen?

10

Wie viele verschiedene Sitzordnungen einer Klasse mit 22 Personen sind in einem Raum mit 30 Plätzen möglich?

11

Wie viele sechsstellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern von 1 bis 9 bilden ?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ziffern der bei a) gebildeten Zahl verschieden sind?

12

Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Ein Händler erhält eine Lieferung dieser Smartphones. Die gelieferten Geräte haben sechs verschiedene Farben. Für die Auslage einiger Geräte im Schaufenster sollen vier Farben ausgewählt werden. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für diese Auswahl. (IQB-Aufgabe 2017)

13

Ein Zug besteht aus 4 Wagen der 1. Klasse, 7 Wagen der 2. Klasse, 1 Speisewagen, 2 Gepäckwagen. Wie viele unterscheidbare Wagenfolgen sind möglich

wenn die Wagen beliebig eingereiht werden dürfen?
wenn die Wagen der 1. Klasse nicht getrennt werden dürfen

14

Ein Paar hat 11 gute Freunde. Wieviel Möglichkeiten gibt es, 5 davon zum Essen einzuladen

allgemein?
wenn von einem Paar keiner allein kommen will?
wenn 2 der Freunde sich nicht gut verstehen und deshalb nicht zusammentreffen wollen?

15

* Eine Schulklasse besteht aus 30 Personen. Die Klassenlehrerin lost 15 Wochen lang in jeder Woche eine Person aus, der den Tafeldienst erledigen muss. Wie viele Reihenfolgen gibt es, sodass niemand innerhalb der ersten 7 Wochen mehr als einmal den Tafeldienst erledigen muss.

16

* Wie wahrscheinlich sind genau 2 Richtige im Lotto 6 aus 49?

17

Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, wie 4 Jungen und 4 Mädchen so in einer Reihe sitzen können, dass nie zwei Jungen oder zwei Mädchen nebeneinander sitzen.
*Löse das gleiche Problem unter der Annahme, dass ein Junge und ein Mädchen befreundet sind und unbedingt nebeneinander sitzen wollen.
*Was ergibt sich in a), wenn ein bestimmter Junge und ein bestimmtes Mädchen nicht nebeneinander sitzen wollen?

Kombinatorik

12.11.2025

Kombinatorik

Wie­der­ho­lung nicht zu­ge­las­sen, Rei­hen­fol­ge be­deut­sam

Wie­der­ho­lung zu­ge­las­sen, Rei­hen­fol­ge be­deut­sam

Wie­der­ho­lung nicht zu­ge­las­sen, Rei­hen­fol­ge nicht be­deut­sam

Wie­der­ho­lung zu­ge­las­sen, Rei­hen­fol­ge nicht be­deut­sam

Wie­der­ho­lung vor­ge­ge­ben, Rei­hen­fol­ge be­deut­sam

Über­sicht kom­bi­na­to­ri­sche Fi­gu­ren

Übungs­auf­ga­ben

Kombinatorik

Lizenzhinweis

Wiederholung nicht zugelassen, Reihenfolge bedeutsam

Wiederholung zugelassen, Reihenfolge bedeutsam

Wiederholung nicht zugelassen, Reihenfolge nicht bedeutsam

Wiederholung zugelassen, Reihenfolge nicht bedeutsam

Wiederholung vorgegeben, Reihenfolge bedeutsam

Übersicht kombinatorische Figuren

Übungsaufgaben