TitelKrümmung und Wendepunkte
AutorSimon Brückner
veröffentlicht09.01.2022
FachMathematik
Klassenstufe11

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Krümmung und Wendepunkte

Oma Trude hat von ihren Enkeln einen neuen e-Roller bekommen, um in Zukunft CO2-neutral durch den Hühnerstall fahren zu können.
Bei ihrer ersten Ausfahrt (der nebenstehende Graph f zeigt die gefahrene Strecke aus der Vogelperspektive) fährt ihr Opa Werner in der Diesel-Limousine nach und macht Fotos für die Enkel. Leider bringt er diese durch-einander.

Ordnen Sie die Fotos den Wegpunkten $A$ , $B$ , $C$ und $D$ zu.
Markieren Sie am Graphen von f alle Punkte, in denen Oma Trude eine Linkskurve macht, in grün, alle Punkte, in denen sie eine Rechtskurve macht, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
Markieren Sie am zugehörigen Ableitungsgraphen f ' alle Punkte, in denen dieser steigt, in grün, alle Punkte, in denen dieser fällt, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
Vergleichen Sie die Markierungen beider Graphen. Was fällt auf?

Die Lösung mit Erklärung gibt's unter

vimeo.com/497655552

Merke (Ergänzen Sie die genannten Begriffe)

einen Extrempunkt

fällt

negativ

positiv

steigt

Wo der Graph von f ' , macht der Graph von f eine Linkskurve.
Wo der Graph von f ' , macht der Graph von f eine Rechtskurve.
Wo der Graph von f ' besitzt, wechselt der Graph von f die Krümmung. Ein Punkt, in dem der Graph von f die Krümmung wechselt, heißt Wendepunkt.
Für die zweite Ableitung f '' bedeutet das:
Wo f '' ist, macht der Graph von f eine Linkskurve.
Wo f '' ist, macht der Graph von f eine Rechtskurve.

Markieren Sie jeweils die Bereiche, in denen der Graph linksgekrümmt bzw. rechts-gekrümmt ist, in verschiedenen Farben und geben Sie die Krümmungsintervalle an.

f ist rechtsgekrümmt für $x \in] - \infty; 2 [$ und linksgekrümmt für $x \in] 2; \infty [$ .

g ist $linksgekr \overset{u}{¨} mmt f \overset{u}{¨} r x \in] - \infty; 1 [, rechtsgekr \overset{u}{¨} mmt f \overset{u}{¨} r x \in] 1; 2 [$ $und linksgekr \overset{u}{¨} mmt f \overset{u}{¨} r x \in] 2; \infty [.$

h ist

Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.

$f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + x$
$f (x) = - e^{x} + x$
$f (x) = x^{4} - x^{2}$
$f (x) = 2 sin (x) - 1$ , für $x \in] 0; 2 π [$

Ein Beispiel für die Berechnung von Wendepunkten finden Sie unter

vimeo.com/497660725

Gegeben sind folgende Funktions-gleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.

$f (x) = x^{5} + 2$
$f (x) = x^{5} - x^{4}$

Wendepunkte mit Hindernissen

Genau wie bei der Extrempunktbe-rechnung kann es passieren, dass auch bei der Wendepunktbestim-mung die dritte Ableitung weder positiv noch negativ ist. In diesem Fall müssen Sie die zweite Ableitung an der fraglichen Stelle auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.