• Krümmung und Wendepunkte
  • Simon Brückner
  • 09.01.2022
  • Mathematik
  • 11
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Krümmung und Wendepunkte
Oma Trude hat von ihren Enkeln einen neuen e-Roller bekommen, um in Zukunft CO2-neutral durch den Hühnerstall fahren zu können.
Bei ihrer ersten Ausfahrt (der nebenstehende Graph f zeigt die gefahrene Strecke aus der Vogelperspektive) fährt ihr Opa Werner in der Diesel-Limousine nach und macht Fotos für die Enkel. Leider bringt er diese durch-einander.
  • Ordnen Sie die Fotos den Wegpunkten A\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small A, B\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small B, C\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small C und D\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small D zu.







  • Markieren Sie am Graphen von f alle Punkte, in denen Oma Trude eine Linkskurve macht, in grün, alle Punkte, in denen sie eine Rechtskurve macht, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
  • Markieren Sie am zugehörigen Ableitungsgraphen f ' alle Punkte, in denen dieser steigt, in grün, alle Punkte, in denen dieser fällt, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
  • Vergleichen Sie die Markierungen beider Graphen. Was fällt auf?
1234x123yoriginODCBA

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.4 cm}

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.4 cm}

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.4 cm}

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.4 cm}

1234x−11yoriginO

Die Lösung mit Erklärung gibt's unter

vimeo.com/497655552

Merke (Ergänzen Sie die genannten Begriffe)
einen Extrempunkt
fällt
negativ
positiv
steigt
  • Wo der Graph von f ' , macht der Graph von f eine Linkskurve.
    Wo der Graph von f ' , macht der Graph von f eine Rechtskurve.
    Wo der Graph von f ' besitzt, wechselt der Graph von f die Krümmung. Ein Punkt, in dem der Graph von f die Krümmung wechselt, heißt Wendepunkt.
  • Für die zweite Ableitung f '' bedeutet das:
    Wo f '' ist, macht der Graph von f eine Linkskurve.
    Wo f '' ist, macht der Graph von f eine Rechtskurve.
1
Markieren Sie jeweils die Bereiche, in denen der Graph linksgekrümmt bzw. rechts-gekrümmt ist, in verschiedenen Farben und geben Sie die Krümmungsintervalle an.









f ist rechtsgekrümmt für x];2[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in]-\infty;\cloze{\small2}[ und linksgekrümmt für x]2;[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in]\cloze{\small 2};\infty[.
g ist linksgekru¨mmt fu¨x];1[, rechtsgekru¨mmt fu¨x]1;2[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\text{\small linksgekrümmt für }\small x\in]-\infty;1[\text{, rechtsgekrümmt für }\small x\in]1;2[} und linksgekru¨mmt fu¨x]2;[.\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small \text{und linksgekrümmt für }\small x\in]2;\infty[\text{.}}
h ist

123x12yoriginOf
123x12yoriginOg
123x12yoriginOh
2
Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.
  • f(x)=x33x2+x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-x^3-3x^2+x
  • f(x)=ex+x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=-e^x+x
  • f(x)=x4x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^4-x^2
  • f(x)=2sin(x)1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=2\sin(x)-1, für x]0;2π[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x\in]0;2\pi[

Ein Beispiel für die Berechnung von Wendepunkten finden Sie unter

vimeo.com/497660725

3
Gegeben sind folgende Funktions-gleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.
  • f(x)=x5+2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^5+2
  • f(x)=x5x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^5-x^4
Wendepunkte mit Hindernissen

Genau wie bei der Extrempunktbe-rechnung kann es passieren, dass auch bei der Wendepunktbestim-mung die dritte Ableitung weder positiv noch negativ ist. In diesem Fall müssen Sie die zweite Ableitung an der fraglichen Stelle auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.

Lösung2
a) Wen­de­punk­t W(13)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small W(-1|-3)
b) Keine Wen­de­punk­te
c) Wen­de­punk­te W1(16536)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small W_1(-\sqrt{\frac{1}{6}}|\frac{5}{36}), W2(16536)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small W_2(\sqrt{\frac{1}{6}}|\frac{5}{36})
d) Wen­de­punk­t W(π1)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small W(\pi|-1) (Kann auch aus einer ge­eig­ne­ten Skiz­ze ab­ge­le­sen wer­den. Da 0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small 0 und 2π\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small 2\pi nicht im In­ter­vall $\small ]0;2\pi[ lie­gen, sind dies auch keine Wen­de­stel­len.)
Lösung3
a) Wen­de­punk­t W(02)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small W(0|2), b) Wen­de­punk­t W(0,60,05)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small W(0{,}6|-0{,}05)