• Krümmung und Wendepunkte
  • anonym
  • 08.01.2021
  • Mathematik
  • 11
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Krümmung und Wendepunkte
Oma Gerlinde hat von ihren Enkeln einen neuen e-Roller bekommen, um in Zukunft CO2-neutral durch den Hühnerstall fahren zu können.
Bei ihrer ersten Ausfahrt (der nebenstehende Graph f zeigt die gefahrene Strecke aus der Vogelperspektive) fährt ihr Opa Winfried in der Diesel-Limousine nach und macht Fotos für die Enkel. Leider bringt er diese durch-einander.
  • Ordnen Sie die Fotos den Wegpunkten , , und zu.







  • Markieren Sie am Graphen von f alle Punkte, in denen Oma Gerlinde eine Linkskurve macht, in grün, alle Punkte, in denen sie eine Rechtskurve macht, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
  • Markieren Sie am zugehörigen Ableitungsgraphen f ' alle Punkte, in denen dieser steigt, in grün, alle Punkte, in denen dieser fällt, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
  • Vergleichen Sie die Markierungen beider Graphen. Was fällt auf?
1234x123yoriginODCBA

A

D

C

B

1234x−11yoriginOE



Die Lösung mit Erklärung gibt's unter

vimeo.com/497655552

Merke (Ergänzen Sie die genannten Begriffe)
einen Extrempunkt
fällt
negativ
positiv
steigt
  • Wo der Graph von f ' steigt, macht der Graph von f eine Linkskurve.
    Wo der Graph von f ' fällt, macht der Graph von f eine Rechtskurve.
    Wo der Graph von f ' einen Extrempunkt besitzt, wechselt der Graph von f die Krümmung. Ein Punkt, in dem der Graph von f die Krümmung wechselt, heißt Wendepunkt.
  • Für die zweite Ableitung f '' bedeutet das:
    Wo f '' positiv ist, macht der Graph von f eine Linkskurve.
    Wo f '' negativ ist, macht der Graph von f eine Rechtskurve.
1
Markieren Sie jeweils die Bereiche, in denen der Graph linksgekrümmt bzw. rechts-gekrümmt ist, in verschiedenen Farben und geben Sie die Krümmungsintervalle an.









f ist rechtsgekrümmt für und linksgekrümmt für .

g ist

h ist überall linksgekrümmt.

123x12yoriginOf
123x12yoriginOg
123x12yoriginOh
2
Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.
  • , für



Ein Beispiel für die Berechnung von Wendepunkten finden Sie unter

vimeo.com/497660725

3
Gegeben sind folgende Funktions-gleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.
Wendepunkte mit Hindernissen

Genau wie bei der Extrempunktbe-rechnung kann es passieren, dass auch bei der Wendepunktbestim-mung die dritte Ableitung weder positiv noch negativ ist. In diesem Fall müssen Sie die zweite Ableitung an der fraglichen Stelle auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.

Lösung2
a) Wen­de­punkt
b) Keine Wen­de­punk­te
c) Wen­de­punk­te ,
d) Wen­de­punkt (Kann auch aus einer ge­eig­ne­ten Skiz­ze ab­ge­le­sen wer­den. Da und nicht im In­ter­vall $\small ]0;2\pi[ lie­gen, sind dies auch keine Wen­de­stel­len.)
Lösung3
a) Wen­de­punkt , b) Wen­de­punkt
x