• Krümmung und Wendepunkte
  • anonym
  • 08.01.2021
  • Mathematik
  • 11
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  • Krümmung und Wendepunkte
    Oma Gerlinde hat von ihren Enkeln einen neuen e-Roller bekommen, um in Zukunft CO2-neutral durch den Hühnerstall fahren zu können.
    Bei ihrer ersten Ausfahrt (der nebenstehende Graph f zeigt die gefahrene Strecke aus der Vogelperspektive) fährt ihr Opa Winfried in der Diesel-Limousine nach und macht Fotos für die Enkel. Leider bringt er diese durch-einander.
    • Ordnen Sie die Fotos den Wegpunkten A\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small A, B\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small B, C\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small C und D\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small D zu.







    • Markieren Sie am Graphen von f alle Punkte, in denen Oma Gerlinde eine Linkskurve macht, in grün, alle Punkte, in denen sie eine Rechtskurve macht, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
    • Markieren Sie am zugehörigen Ableitungsgraphen f ' alle Punkte, in denen dieser steigt, in grün, alle Punkte, in denen dieser fällt, in rot. Welcher Punkt bleibt übrig?
    • Vergleichen Sie die Markierungen beider Graphen. Was fällt auf?
    1234x123yoriginODCBA

    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.4 cm}

    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.4 cm}

    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.4 cm}

    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.4 cm}

    1234x-11yoriginO

    Die Lösung mit Erklärung gibt's unter

    vimeo.com/497655552

    Merke (Ergänzen Sie die genannten Begriffe)
    einen Extrempunkt
    fällt
    negativ
    positiv
    steigt
    • Wo der Graph von f ' , macht der Graph von f eine Linkskurve.
      Wo der Graph von f ' , macht der Graph von f eine Rechtskurve.
      Wo der Graph von f ' besitzt, wechselt der Graph von f die Krümmung. Ein Punkt, in dem der Graph von f die Krümmung wechselt, heißt Wendepunkt.
    • Für die zweite Ableitung f '' bedeutet das:
      Wo f '' ist, macht der Graph von f eine Linkskurve.
      Wo f '' ist, macht der Graph von f eine Rechtskurve.
  • 1
    Markieren Sie jeweils die Bereiche, in denen der Graph linksgekrümmt bzw. rechts-gekrümmt ist, in verschiedenen Farben und geben Sie die Krümmungsintervalle an.









    f ist rechtsgekrümmt für x];2[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in]-\infty;\cloze{\small2}[ und linksgekrümmt für x]2;[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in]\cloze{\small 2};\infty[.
    g ist linksgekru¨mmt fu¨x];1[, rechtsgekru¨mmt fu¨x]1;2[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\text{\small linksgekrümmt für }\small x\in]-\infty;1[\text{, rechtsgekrümmt für }\small x\in]1;2[} und linksgekru¨mmt fu¨x]2;[.\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small \text{und linksgekrümmt für }\small x\in]2;\infty[\text{.}}
    h ist

    123x12yoriginOf
    123x12yoriginOg
    123x12yoriginOh
    2
    Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.
    • f(x)=x33x2+x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=-x^3-3x^2+x
    • f(x)=ex+x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=-e^x+x
    • f(x)=x4x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^4-x^2
    • f(x)=2sin(x)1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=2\sin(x)-1, für x]0;2π[\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} x\in]0;2\pi[

    Ein Beispiel für die Berechnung von Wendepunkten finden Sie unter

    vimeo.com/497660725

    3
    Gegeben sind folgende Funktions-gleichungen. Untersuchen Sie die zugehörigen Graphen auf Wendepunkte.
    • f(x)=x5+2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^5+2
    • f(x)=x5x4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^5-x^4
    Wendepunkte mit Hindernissen

    Genau wie bei der Extrempunktbe-rechnung kann es passieren, dass auch bei der Wendepunktbestim-mung die dritte Ableitung weder positiv noch negativ ist. In diesem Fall müssen Sie die zweite Ableitung an der fraglichen Stelle auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.