Lerntheke GK 11 Differenzialrechnung

Differenzenquotient

Lsg. A 1

Berechne den Differenzenquotient.

$f (x) = x^{2} - 3$ im Intervall $[0; 3]$ .
$f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 7, 5$ im Intervall $[- 1; 1]$ .
$f (x) = x$ im Intervall $[4; \frac{25}{4}]$ .
$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ im Intervall $[3; 4]$ .

Lsg. A 2

Homer war Ende Februar 1,38 m groß. Ende Juli war er 1,40 m groß. Bestimme die durchschnittliche Wachstumsrate in diesem Zeitraum.

Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Änderungsrate von

f (x) = \frac{1}{4} x^{2}

im Intervall

I = [2; 4]

Lsg. A 3

133 ✕ 83mm

In einem Unternehmen wurden die Produktionskosten für

x

Teile bestimmt. Diese werden mit

K (x) = \frac{1}{5} x^{3} - 5 x^{2} + 50 x + 100

angegeben.

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Kosten für die Einheiten 3 bis 8.
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Kosten für die Einheiten 10 bis 20.

Lsg. A 4

Differenzialquotient

Bestimme rechnerisch die lokale Steigung der Funktion

f

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3$ an der Stelle $x_{0} = 4$ .
$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ an der Stelle $x_{0} = 3$ .
$f (x) = 5 x^{\frac{1}{2}}$ an der Stelle $x_{0} = 9$ .
$f (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ an der Stelle $x_{0} = 1$ .

Lisa misst die Temperatur von Wasser in ihrem Aquarium. Die Pumpe ist kaputt und erzeugt zu viel Wärme. Zu Beginn beträgt die Temperatur im Becken

T = 34° C

. Das Wasser erwärmt sich mit

T (t) = 34 + 0, 1 t^{2}

.
a) Bestimme den momentanen Temperaturanstieg nach 5 min und nach 60 min.
b) Bestimme außerdem den Zeitpunkt, an dem die Temperatur 44°C erreicht und die Fische aus dem Aquarium müssen, bzw. die Pumpe repariert sein muss.

Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die lokale Änderungsrate von

f (x) = \frac{1}{4} x^{2}

an der Stelle

x = 3

133 ✕ 83mm

In einem Unternehmen wurden die Produktionskosten für

x

Teile bestimmt. Diese werden mit

K (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 5 x^{2} + 50 x + 100

angegeben.

Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate der Kosten für die Einheit 4.
Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate der Kosten für die Einheit 10.

Ableiten

Konstante Funktion
Leite die Funktionen dreifach ab.

$f (x) = 12$
$f (x) = 23.4$
$f (x) = - 123123$
$f (x) = 65164686654865486.545468489$

Potenz- und Faktorregel
Leite die Funktionen einmal ab.

$f (x) = x^{2}$
$f (x) = 10 x^{3}$
$f (x) = - x$
$f (x) = \frac{2}{x}$

Summenregel
Leite die Funktionen einmal ab.

$f (x) = x^{2} + x^{3}$
$f (x) = x^{3} - 2 x^{4}$
$f (x) = - x - x^{2}$
$f (x) = \frac{2}{x} + x^{2}$

Gemischte Aufgaben
Leite die Funktionen zweifach ab.

$f (x) = 5 x^{3} + 4$
$f (x) = 2 x^{4} + 2 x$
$f (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$
$f (x) = x$
$f (x) = 3 x^{2} + 2 x$
$f (x) = x^{4} + x^{2} - x$
$f (x) = 15 x^{5} - 2 x^{2} - 100$

Kurvendiskussion

Bestimme die Nullstellen, die Art der Extrema und die Art der Wendepunkte.

$f (x) = x^{3}$
$g (x) = x^{4} - x^{2}$
$h (x) = 4 x^{2} - 3 x + 2$

Zeichne die Funktionen

f, g

und

h

in ein (oder drei verschiedene) Koordinatensystem mit dem Intervall

- 1 \leq ´ x \leq 1

(5 c m \overset{=}{^} 1 L E)

.
Markiere die markanten Punkte.

Stelle die Tangentengleichung im Punkt

(1∣ y)

auf.

Für $f (x)$ .
Für $g (x)$ .
Für $h (x)$ .