• Lerntheke GK 11 Differenzialrechnung
  • anonym
  • 17.12.2023
  • Mathematik
  • 11
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Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent

a)
b)
c)
d)
1
Be­rech­ne den Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent.
  • im In­ter­vall .
  • im In­ter­vall .
  • im In­ter­vall .
  • im In­ter­vall .

Der Monat Fe­bru­ar steht hier für die 2 und der Monat Juli für die 7.
2
Homer war Ende Fe­bru­ar 1,38 m groß. Ende Juli war er 1,40 m groß. Be­stim­me die durch­schnitt­li­che Wachs­tums­ra­te in die­sem Zeit­raum.
3
Be­stim­me zeich­ne­risch und rech­ne­risch die Än­de­rungs­ra­te von im In­ter­vall .
Zeich­ne­risch:
Durch die Stel­len und der Funk­ti­on ist eine Se­kan­te zu zeich­nen. An die­ser kann man die Stei­gung mit­tels eines Stei­gungs­drei­ecks be­stim­men. Die Stei­gung be­trägt .
Rech­ne­risch:
4
In einem Un­ter­neh­men wur­den die Pro­duk­ti­ons­kos­ten für Teile be­stimmt. Diese wer­den mit an­ge­ge­ben.
  • Be­stim­men Sie die mitt­le­re Än­de­rungs­ra­te der Kos­ten für die Ein­hei­ten 3 bis 8.
  • Be­stim­men Sie die mitt­le­re Än­de­rungs­ra­te der Kos­ten für die Ein­hei­ten 10 bis 20.
a)
Die Kos­ten für die Ein­hei­ten 3 bis 8 ent­spre­chen 19,8 Kos­ten­ein­hei­ten.
a)
Die Kos­ten für die Ein­hei­ten 10 bis 20 ent­spre­chen 40 Kos­ten­ein­hei­ten.

Dif­fe­ren­zi­al­quo­ti­ent

a) Eine Me­tho­de ist es, mit­hil­fe des Dif­fe­ren­zen­quo­ti­en­ten und Testein­set­zun­gen. Bei der Testein­set­zung ist dann das eine In­ter­vall fest bei 4 und die an­de­ren Werte sind nahe der 4 (z.B. 3,9; 3,99; 3,999; ...). Das Er­geb­nis ist
Eine wei­te­re Me­tho­de ist es, mit der ers­ten Ab­lei­tung für den lo­ka­len An­stieg zu er­mit­teln. Also .
b)
c)
d)
1
Be­stim­me rech­ne­risch die lo­ka­le Stei­gung der Funk­ti­on .
  • an der Stel­le .
  • an der Stel­le .
  • an der Stel­le .
  • an der Stel­le .
Mit oder mit Testein­set­zun­gen.
a) . Die Tem­pe­ra­tur­an­stieg ist nach 5 min 1 K.
. Die Tem­pe­ra­tur­an­stieg ist nach 60 min 12 K.
b)




Die Tem­pe­ra­tur ist nach 10 min er­reicht.
2
Lisa misst die Tem­pe­ra­tur von Was­ser in ihrem Aqua­ri­um. Die Pumpe ist ka­putt und er­zeugt zu viel Wärme. Zu Be­ginn be­trägt die Tem­pe­ra­tur im Be­cken . Das Was­ser er­wärmt sich mit .
a) Be­stim­me den mo­men­ta­nen Tem­pe­ra­tur­an­stieg nach 5 min und nach 60 min.
b) Be­stim­me au­ßer­dem den Zeit­punkt, an dem die Tem­pe­ra­tur 44°C er­reicht und die Fi­sche aus dem Aqua­ri­um müs­sen, bzw. die Pumpe re­pa­riert sein muss.
3
Be­stim­me zeich­ne­risch und rech­ne­risch die lo­ka­le Än­de­rungs­ra­te von an der Stel­le .
Zeich­ne­risch:
Durch die Stel­le der Funk­ti­on ist eine Tan­gen­te zu zeich­nen. An die­ser kann man die Stei­gung mit­tels eines Stei­gungs­drei­ecks be­stim­men. Die Stei­gung be­trägt .
Rech­ne­risch:

4
In einem Un­ter­neh­men wur­den die Pro­duk­ti­ons­kos­ten für Teile be­stimmt. Diese wer­den mit an­ge­ge­ben.
  • Be­stim­men Sie die lo­ka­le Än­de­rungs­ra­te der Kos­ten für die Ein­heit 4.
  • Be­stim­men Sie die lo­ka­le Än­de­rungs­ra­te der Kos­ten für die Ein­heit 10.
a)

Der Preis­an­stieg bei der vier­ten Ein­heit be­trägt 22 Kos­ten­ein­hei­ten.
b)

Der Preis­an­stieg bei der vier­ten Ein­heit be­trägt 25 Kos­ten­ein­hei­ten.

Ab­lei­ten

Für kon­stan­te Funk­ti­o­nen ist die Ab­lei­tung immer gleich 0.
Also .
Es gilt all­ge­mein: $f(x)=c \right­ar­row f'(x)=0
1
Kon­stan­te Funk­ti­on
Leite die Funk­ti­o­nen drei­fach ab.
2
Potenz-​ und Fak­tor­re­gel
Leite die Funk­ti­o­nen ein­mal ab.
a)
b)
c)
d)
3
Sum­men­re­gel
Leite die Funk­ti­o­nen ein­mal ab.
a)
b)
c)
d)
4
Ge­misch­te Auf­ga­ben
Leite die Funk­ti­o­nen zwei­fach ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Kur­ven­dis­kus­si­on

1
Be­stim­me die Null­stel­len, die Art der Ex­tre­ma und die Art der Wen­de­punk­te.
Null­stel­len:
a)
b)
c) be­sitzt keine Null­stel­len.
Ex­tre­ma:
a) keine Ex­trem­punk­te
b)


c)
Wen­de­punk­te:
a) L-R-W
b) L-R-W
R-L-W
2
Zeich­ne die Funk­ti­o­nen und in ein (oder drei ver­schie­de­ne) Ko­or­di­na­ten­sys­tem mit dem In­ter­vall .
Mar­kie­re die mar­kan­ten Punk­te.
3
Stel­le die Tan­gen­ten­glei­chung im Punkt auf.
  • Für .
  • Für .
  • Für .
a) Die Stei­gung an der Stel­le wird mit be­stimmt. , also .
y-​Wert:
Mit die­ser Stei­gung und dem be­kann­ten x-​Wert und dem y-​Wert kann nun die Tan­gen­ten­glei­chung auf­ge­stellt wer­den.

Die all­ge­mei­ne Ge­ra­den­glei­chung dient als Tan­gen­ten­glei­chung:



Die Tan­gen­ten­glei­chung lau­tet also:
b)
c)
x