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TitelLineare Gleichungssysteme: Motivation
Autoranonym
veröffentlicht17.12.2020
BildungsgangFachhochschulreife
FachMathematik
Klassenstufe11

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Hinweis zum Einsatz im Unterricht

anonym

Gleichungen auffinden: Einstieg

Die Flugbahn eines Balles kann durch eine Parabel, also den Graphen einer quadratischen Funktion, beschrieben werden. Für eine Computersimulation soll die Flugbahn so bestimmt werden, dass der Ball sich jeweils auf der angegebenen Flugkurve bewegt.

Für verschiedene Flugbahnen sind verschiedene Informationen bekannt.

Kreuzen Sie jeweils den passenden Ansatz an und bestimmen Sie die vollständige Funktions-gleichung.

a) Der Ball fliegt 12 m weit. Zwei Meter vor der Landung befindet er sich in 2 m Höhe.

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x\cdot (x-12)$
$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot (x-12)^2+2$
$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=12x+a$

b) Der Ball erreicht seinen höchsten Punkt nach 20 m. Er ist dann 10 m über dem Platz.

$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot (x-20)^2+10$
$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=ax^2+20x+10$
$\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x\cdot (x-20)$

Berechnen Sie den fehlenden Parameter a.

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{array}{rcl} f(2) & = & 2 \\ a\cdot 2\cdot (2-12) & = & 2 \\ a\cdot(-20) & = & 2 \\ a & = & -0{,}1 \end{array}

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \begin{array}{rcl} f(0) & = & 0 \\ a \cdot (0-20)^2+10 & = & 0 \\ a \cdot 400+10 & = & 0 \\ a & = & -\frac{1}{40} \end{array}

c) Nach einem Meter befindet sich der Ball in 1 m Höhe, nach fünf Metern befindet er sich in 2,5 m Höhe. Bestimmen Sie die Gleichung mithilfe der Hauptform f(x)=ax²+bx+c.

Lösung: Wir wissen anhand des Textes, dass (I) f(1)=1 und (II) f(5)=2,5 gelten muss.
Weil der Koordinatenursprung der Abschlagpunkt ist, gilt außerdem f(0)=0 und damit $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\cdot$ 0 $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} +b\cdot$ 0 $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} +c=$ 0, also $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} c=$ 0.
( I) $\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a\cdot 1^2+b\cdot 1+$ 0=1
(II) 25a+5b+0=2,5
Dieses Lineare Gleichungssystem (LGS) kann mit verschiedenen Verfahren gelöst werden. Es ergibt sich a=-0,125 und b=1,125; also f(x)= -0,125x²+1,125x .