Um die Lizenzinformationen zu sehen, klicken Sie bitte den gewünschten Inhalt an.

Kurvendiskussion

Im Schaubild ist die Funktion

f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}

dargestellt.
Markieren Sie Ihnen alle bekannten charakteristischen Punkte des Graphen.

Ableitungen

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

$f^{'} (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 3 x$

$f^{''} (x) = 3 x - 3$

$f^{'''} (x) = 3$

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

$f (0) = 0$ $P (0 ∣ 0)$

Nullstellen:

$f (x) = 0$

$0 = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

$0 = x^{2} (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

ein Produkt ist immer dann Null, wenn ein Faktor Null ist

$x^{2} = 0$ und $0 = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

$x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$

$N_{1} (0 ∣ 0)$ und $N_{2} (3 ∣ 0)$

Bestimmen Sie rechnerisch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Symmetrie

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

$f (- x) = - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

Somit folgt: $f (- x) \neq = f (x)$ und $f (- x) \neq = - f (x)$

also keine Symmetrie.

Bestimmen Sie rechnerisch die Symmetrie des Graphens.

Extrema

$f^{'} (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 3 x$

notw. Bed. $f^{'} (x) = 0$

$0 = \frac{3}{2} x^{2} - 3 x$

$x$ ausklammern und Satz vom Nullprodukt anwenden:

$x_{1} = 0$ und $x_{2} = 2$

hinr. Bed. $f^{''} (x) \neq = 0$

$f^{''} (0) = 3 \cdot 0 - 3 = - 3 < 0$ , also $H (0 ∣ 0)$

$f^{''} (0) = 3 \cdot 2 - 3 = 3 > 0$ , also $T (2 ∣ - 2)$

Wendepunkte

notw. Bed. $f^{''} (x) = 0$

$0 = 3 x - 3$

$x_{1} = 1$

hinr. Bed. $f^{'''} (x) \neq = 0$

$f^{'''} (1) = 3 > 0$ , also $W P (1 ∣ - 1)$

Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema.