M 3 Flächen von Vielecken und Kreisen bestimmen

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M 3 Flächen von Vielecken und Kreisen bestimmen
Flä­che

Der Flä­chen­in­halt oder auch kurz die Flä­che ist die Menge aller ein­ge­schlos­se­nen Flä­chen­ein­hei­ten der Figur zu­sam­men­ge­rech­net. Also zum Bei­spiel bei einem Recht­eck mit den Sei­ten­län­gen a = 4 m und b = 5 m wer­den alle ein­ge­schlos­se­nen Qua­dra­te mit der Länge und Brei­te von 1m als Qua­drat­me­ter, 1 m², ge­zählt. Das sind ins­ge­samt 20 Stück, also er­gibt sich eine Flä­che von 20 m².

1
Die Flä­che bei einem Recht­eck ist Ge­samt­an­zahl aller Ein­heits­flä­chen (hier Qua­drat von 1 cm²). Wenn man alle ein­zeln ab­zählt kommt das selbe raus, wie wenn man Länge mal Brei­te rech­net.
FRecht­eck = a ⋅ b

Bsp.: Be­stim­me die feh­len­de Sei­ten­län­gen des Recht­ecks, zähle ein­mal alle ein­zel­nen Qua­drat­zen­ti­me­ter und be­rech­ne die Flä­che.
a =   cm, b =   cm, Fab­ge­zählt =   cm²
F =   cm ⋅   cm
F =   cm²
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a
b
b
a
ABCD
2
Gehe bei dem Qua­drat ähn­lich vor wie bei dem Recht­eck und zeich­ne im Ab­stand von einem Zen­ti­me­ter Hilfs­li­ni­en in das Qua­drat.

Bsp.: Be­stim­me die feh­len­de Sei­ten­län­ge des Qua­dra­tes, zähle ein­mal alle ein­zel­nen Qua­drat­zen­ti­me­ter und be­rech­ne die Flä­che.
a =   cm, Fab­ge­zählt =   cm²
F =   cm ⋅   cm
F =   cm²
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a
a
a
a
ABCD
Mathematik
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Flä­chen von Drei­ecken

Bei Drei­ecken wen­det man einen Trick an und er­gänzt sie zu einem Recht­eck. Das funk­ti­o­niert, weil das Recht­eck die dop­pel­te Flä­che des Drei­ecks hat.

Du kannst das Drei­eck mit dem Recht­eck aus der Auf­ga­be hier unten drun­ter auf ka­rier­tes Pa­pier über­tra­gen und die bei­den blau­en Drei­ecke aus­schnei­den. Die bei­den Drei­ecke pas­sen genau auf das gelbe Drei­eck.

3
Be­stim­me die Flä­che des Recht­ecks und an­schlie­ßend die Flä­che des Drei­ecks. Be­rech­ne sie zur Kon­trol­le.

Bsp.: c = 5,0 cm, hc = 3,0 cm
F = FRecht­eck : 2 = c ⋅ hc : 2 =   cm ⋅   cm : 2
F =   cm²
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hc
c
b
a
ABC
An­de­re Flä­chen

Bei an­de­ren Flä­chen wie Par­al­le­lo­gram­me, Tra­pe­ze, Dra­chen usw. wird eben­falls auf den Trick von oben zu­rück­ge­grif­fen, Drei­ecke bei die­sen Flä­chen zu er­gän­zen oder sie in Drei­ecke zu zer­le­gen. Al­ler­dings ist das von Figur zu Figur ver­schie­den, wie man da am bes­ten vor­geht.

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ha
a
b
b
a
ABCD
4
Das Par­al­le­lo­gramm kann durch eine ein­fa­che Zer­le­gung zu einem Recht­eck er­gänzt wer­den.

Bsp.: Be­stim­me die feh­len­de Sei­ten­län­ge des Par­al­le­lo­gramms und be­rech­ne die Flä­che.
a =   cm, ha = 3,0 cm
F =   cm ⋅   cm
F =   cm²
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ha
a
b
d
c
c
ABCD
5
Bei einem Tra­pez kann man über das Par­al­le­lo­gramm gehen. Dazu wird das Tra­pez ver­dop­pelt, ge­dreht und pas­send an­ge­legt. Dann wird die Flä­che des gro­ßen Par­al­le­lo­gramms be­stimmt. Da diese Flä­che aus zwei Tra­pe­zen be­steht wird sie durch zwei ge­teilt.

Bsp.: Be­stim­me die feh­len­de Sei­ten­län­gen des Tra­pe­zes links und be­rech­ne die Flä­che.
a =   cm, c =   cm, ha =   cm
F = (a + c) ⋅ ha : 2 = (  cm +   cm) ⋅   cm : 2
F =   cm²
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f
e
e
a
b
b
a
ABCD
6
Die Flä­che eines Dra­chen kann man durch ge­schick­te Zer­le­gung in ein Recht­eck um­wan­deln.

Bsp.: Be­stim­me die feh­len­den Grö­ßen und be­rech­ne die Flä­che.
e = 4,5 cm, f = 3,0 cm
F =   cm ⋅   cm : 2
F =   cm²
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a
b
b
a
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a
a
a
a
a
a
ABCDEF
7
Der Um­fang bei einem re­gel­mä­ßi­gen Sechs­eck ist die Länge aller sechs Sei­ten (a, sechs­mal) zu­sam­men­ge­rech­net.
USechs­eck = a + a + a + a + a + a = 6 ⋅ a

Bsp.: Be­stim­me die feh­len­de Sei­ten­län­ge des Sechs­ecks und be­rech­ne den Um­fang.
a =   cm
U = 6 ⋅   cm
U =   cm
8
Die Be­stim­mung der Flä­che eines Krei­ses ist wie­der etwas kom­pli­zier­ter. Zähle die Käst­chen des Vier­tel­krei­ses. Teile die An­zahl der ge­zähl­ten Käst­chen und teile sie durch 4. Jetzt hast Du die Flä­che vom Vier­tel­kreis in Qua­drat­zen­ti­me­ter. Wenn Du die Flä­che des Krei­ses haben willst, musst die Flä­che des Vier­tel­krei­ses mit 4 mal­neh­men. Was fällt Dir auf?
r =   cm, d =   cm
F =   cm
12345678910x12345678910yoriginO
r
M
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von Sandri
Mathematik
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03.12.2025
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