• Monotonie und Extrempunkte
  • Simon Brückner
  • 30.11.2020
  • Mathematik
  • 11
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Hinweis zum Einsatz im Unterricht

  • Monotonie und Extrempunkte

    Einstieg

    Markieren Sie alle Punkte der Graphen in einer Farbe, in denen die Tangente an den Graphen positive Steigung besitzt. Markieren Sie ebenso alle Punkte, in denen die Tangente an den Graphen negative Steigung besitzt, in einer anderen Farbe. Welche Punkte bleiben übrig?
    xLabels-3-2-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-3-2-1123yAxisyAxisLabelyoriginOf
    xLabels-3-2-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-3-2-1123yAxisyAxisLabelyoriginOg
    xLabels-3-2-1123xAxisxAxisLabelxyLabels-3-2-1123yAxisyAxisLabelyoriginOh

    Merke

    Wenn f(x)>0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(x)>0 für alle xI\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in I ist, dann ist f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f .
    Wenn f(x)<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(x)<0 für alle xI\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x\in I ist, dann ist f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f .


    Findet an einer Stelle ein Vorzeichenwechsel (VZW) in der ersten Ableitung von …
    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.5cm}… + zu – statt, so besitzt der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f dort .

    \gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.5cm}… – zu + statt, so besitzt der Graph von f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f dort .

    Gilt f(x)=0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f'(x)=0 an einer Stelle x0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small x_0 und besitzt f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f' keinen VZW an dieser Stelle, so ist S(x0f(x0))\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small S\left (x_0|f(x_0)\right) .

    Beispiel: Für die obenstehenden Graphen ergibt sich.

    Ein Rechenbeispiel                      

    finden Sie hier:                          

    vimeo.com/                          

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