• Monotonie und Extrempunkte
  • Simon Brückner
  • 30.11.2020
  • Mathematik
  • 11
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Hinweis zum Einsatz im Unterricht

Monotonie und Extrempunkte

Einstieg

Markieren Sie alle Punkte der Graphen in einer Farbe, in denen die Tangente an den Graphen positive Steigung besitzt. Markieren Sie ebenso alle Punkte, in denen die Tangente an den Graphen negative Steigung besitzt, in einer anderen Farbe. Welche Punkte bleiben übrig?
-3-2-1123x-3-2-1123yoriginOf
-3-2-1123x-3-2-1123yoriginOg
-3-2-1123x-3-2-1123yoriginOh

Merke

Wenn f(x)>0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'(x)>0 für alle xI\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in I ist, dann ist f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f monoton wachsend.
Wenn f(x)<0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'(x)<0 für alle xI\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in I ist, dann ist f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f monoton fallend.


Findet an einer Stelle ein Vorzeichenwechsel (VZW) in der ersten Ableitung von …
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.5cm}… + zu – statt, so besitzt der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f dort einen Hochpunkt.

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.5cm}… – zu + statt, so besitzt der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f dort einen Tiefpunkt.

Gilt f(x)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'(x)=0 an einer Stelle x0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x_0 und besitzt f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f' keinen VZW an dieser Stelle, so ist S(x0f(x0))\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small S\left (x_0|f(x_0)\right) ein Sattelpunkt.

Beispiel: Für die obenstehenden Graphen ergibt sich.
Der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f ist monoton wachsend für x];2[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -\infty;-2\right[, monoton fallend für x]2;2[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -2;2\right[ und monoton wachsend für x]2;[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] 2;\infty\right[.

Der Graph von g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small g ist monoton fallend für x];2[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -\infty;-2\right[, monoton wachsend für x]2;0[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -2;0\right[, monoton fallend für x]0;2[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] 0;2\right[ und monoton wachsend für x]2;[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] 2;\infty\right[.

Der Graph von h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small h ist monoton wachsend für x];1[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -\infty;1\right[ und erneut monoton wachsend für x]1;[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{526060}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] 1;\infty\right[.

Ein Rechenbeispiel                      

finden Sie hier:                          

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