• Monotonie und Extrempunkte (2.0)
  • Simon Brückner
  • 06.01.2023
  • Mathematik
  • 11
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Hinweis zum Einsatz im Unterricht

Es wird vorausgesetzt, dass die S*S den Monotoniebegriff bereits kennen:
f streng monoton wachsend genau dann, wenn aus x1<x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} x_1<x_2 auf f(x1)<f(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x_1)<f(x_2) geschlossen werden kann. (fallend analog)

Mo­no­to­nie und Ex­trem­punk­te

Ein­stieg

Mar­kie­ren Sie alle Punk­te der Gra­phen in einer Farbe, in denen die Tan­gen­te an den Gra­phen po­si­ti­ve Stei­gung be­sitzt. Mar­kie­ren Sie eben­so alle Punk­te, in denen die Tan­gen­te an den Gra­phen ne­ga­ti­ve Stei­gung be­sitzt, in einer an­de­ren Farbe. Wel­che Punk­te blei­ben übrig?
−3−2−1123x−3−2−1123yoriginOf
−3−2−1123x−3−2−1123yoriginOg
−3−2−1123x−3−2−1123yoriginOh

Merke

Wenn f(x)>0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'(x)\cloze{\small >}0 für alle xI\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in I ist, dann ist f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f streng mo­no­ton wach­sen­d.
Wenn f(x)<0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'(x)\cloze{\small <}0 für alle xI\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in I ist, dann ist f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f streng mo­no­ton fal­len­d.


Fin­det an einer Stel­le ein Vor­zei­chen­wech­sel (VZW) in der ers­ten Ab­lei­tung von …
\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.5cm}… + zu – statt, so be­sitzt der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f dort .

\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.5cm}… – zu + statt, so be­sitzt der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f dort .

Gilt f(x)=0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f'(x)=0 an einer Stel­le x0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x_0 und be­sitzt f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f' kei­nen VZW an die­ser Stel­le, so ist S(x0f(x0))\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small S\left (x_0|f(x_0)\right) . In die­sem Fall kön­nen die Monotonie-​Intervalle zu­sam­men­ge­fasst wer­den.

Er­in­ne­rung: Auf­grund der De­fi­ni­ti­on der (stren­gen) Mo­no­to­nie dür­fen die In­ter­vall­gren­zen mit­ge­zähl­t wer­den, da ein­zel­ne Punk­te mit waag­rech­ter Tan­gen­te ver­nach­läs­sig­t wer­den dür­fen.

Bei­spiel: Für die o­ben­ste­hen­den Gra­phen er­ge­ben sich fol­gen­de Monotonie-​Eigenschaften.
Der Graph von f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f ist streng mo­no­ton wach­sen­d
für x];2]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -\infty;-2\right], streng mo­no­ton fal­len­d für x[2;2]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left[ -2;2\right] und streng mo­no­ton wach­sen­d für x[2;[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left[ 2;\infty\right[.

Der Graph von g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small g ist streng mo­no­ton fal­len­d für x];2]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left] -\infty;-2\right], streng mo­no­ton wach­sen­d für x[2;0]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left[ -2;0\right], streng mo­no­ton fal­len­d für x[0;2]\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left[ 0;2\right] und streng mo­no­ton wach­sen­d für x[2;[\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\left[ 2;\infty\right[.

Der Graph von h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small h ist streng mo­no­ton wach­sen­d für xR\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small x\in\mathbb{R}.