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TitelNullstellen
Autoranonym
veröffentlicht15.11.2023
FachMathematik
Klassenstufe11

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Nullstellen

Jeder Punkt einer Funktion $f$ wird Nullstelle genannt, wenn gilt, dass $f (x) = 0$ ist.

Beispiel:

Die Nullstellen des blauen Graphen (rechts) sind $x_{N},_{1} = 0$ und $x_{N},_{2} = 2$ .

Bestimme die Nullstellen der folgenden linearen Funktion.

$f (x) = 0, 5 x - 3$
$g (x) = 10 x + 0, 5$
$h (x) = 3 + x$

Nullstellen lineare Funktion

Visualisierung: ab 0:00 min Berechnung ab: 2:20 min

YouTube-Video

Link: https://youtu.be/DAJ1i9oD1VE

Bestimme die Nullstellen der folgenden quadratischen Funktion.

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$
$g (x) = - 2 x^{2} - 8 x - 6$

Nullstellen quadratische Gleichungen

YouTube-Video

Link: https://youtu.be/B_PtpvhnNg0

Bestimme die Nullstellen der folgenden kubischen Funktion.

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 10 x$
$g (x) = 0, 25 x^{3} - 0, 5 x^{2} - 2 x$

Nullstellen kubische Funktion

YouTube-Video

Link: https://youtu.be/z4BjIqYJCps

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen durch Substitution.

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$
$g (x) = 5 x^{4} - 5 x^{2} - 10$

Nullstellen durch Substitutionsmethode

YouTube-Video

Link: https://youtu.be/Rpos9cEyCJY

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen durch Polynomdivision.

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2$
$g (x) = x^{3} - 4, 5 x^{2} + 6 - 2$

Polynomdivision

YouTube-Video

Link: https://youtu.be/OdlYNZXjmWA

Lösungen

Lösungen

Lösungsweg:
$f (x) = 0, 5 x - 3$ $∣ f (x)$ Null setzen
$f (x) = 0$
$0 = 0, 5 x - 3$ $∣ + 3$
$3 = 0, 5 x$ $∣ \cdot 2$
$6 = x$
$x_{N} = 6$
$x_{N} = - 1/20 = - 0, 05$
$x_{N} = - 3$

Lösungen

Lösungsweg:
$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ $∣ f (x)$ Null setzen
$f (x) = 0$
$0 = 2 x^{2} + x - 6$ $∣ : 2$
$0 = x^{2} + 0, 5 x - 3$ $∣$ p-q-Formel
$x_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \frac{p ^{2}}{4} - q$
$x_{1/2} = - \frac{1}{4} \pm \frac{1}{16} + 3$
$x_{1/2} = - \frac{1}{4} \pm \frac{49}{16}$
$x_{1/2} = - \frac{1}{4} \pm \frac{7}{4}$
$x_{1} = - 2$
$x_{2} = \frac{3}{2}$
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = - 1$

Lösungen

Lösungsweg:
$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 10 x$ $∣ f (x)$ Null setzen
$f (x) = 0$
$0 = 2 x^{3} + x^{2} - 10 x$ $∣ x$ ausklammern
$0 = x (2 x^{2} + x - 10)$ $∣ x$ ausklammern
$x_{N},_{1} = 0$
$0 = 2 x^{2} + x - 10$ $∣$ wie bei 2a) vorgehen ausklammern
$x_{N},_{2} = - 2, 5$
$x_{N},_{3} = 2$

Lösungen

$x_{N},_{1} = 0$
$x_{N},_{2} = - 2$
$x_{N},_{3} = 4$

Lösungen

Lösungsweg:
$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} - 4$ $∣ f (x)$ Null setzen
$f (x) = 0$
$0 = x^{4} - 5 x^{2} - 4$ $∣ x^{2} = u$
$0 = u^{2} - 5 u - 4$ $∣$ p-q-Formel
...
$u_{1/2} = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}$
$u_{1} = 1$
$u_{2} = 4$
$x_{1}^{2} = 1$ und $x_{2}^{2} = 4$
$x_{N},_{1} = 1$
$x_{N},_{2} = - 1$
$x_{N},_{3} = 2$
$x_{N},_{4} = - 2$
$x_{N},_{1} = - 1$
$x_{N},_{2} = 1$

Lösungen

Lösungsweg:
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2$ $∣$ Nullstelle erraten
$x = 1 : f (1) = 0$

Nullstellen von $p_{2}$ :
$x^{2} - x - 2 = 0$
$x_{N},_{1} = 2$
$x_{N},_{2} = - 1$
$x_{N},_{1} = 2$
$x_{N},_{2} = 0, 5$

$x_{N},_{1} = 2$

$x_{N},_{2} = - 1$

b) $x_{N},_{1} = 2$

$x_{N},_{2} = 0, 5$

Lö­sun­gen

Lösungen