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09.11.2022
Ober­flä­chen­in­halt

In die­sem Kurs wie­der­holst du dein Wis­sen zu geo­me­tri­schen Kör­pern und Kör­per­net­zen. Du lernst, wie man den Ober­flä­chen­in­halt geo­me­tri­scher Kör­per be­rech­net und führst mit­hil­fe des Di­gi­ta­len Bau­kas­tens Übun­gen dazu durch.

Ober­flä­che und Ober­flä­chen­in­halt - Was ist das?

1
Wir be­schäf­ti­gen uns in die­ser Lern­ein­heit mit dem Ober­flä­chen­in­halt von geo­me­tri­schen Kör­pern. Lies dir zu­erst die In­fo­box gründ­lich durch.

Ober­flä­che und Ober­flä­chen­in­halt

Jeder geo­me­tri­sche Kör­per hat eine Ober­flä­che. Sie ist so­zu­sa­gen die Hülle des Kör­pers und be­steht aus allen Flä­chen, die du von außen sehen und an­fas­sen kannst.



Der Ober­flä­chen­in­halt gibt an, wie groß die ge­sam­te Ober­flä­che eines geo­me­tri­schen Kör­pers ist. Er kann z.B. in den Ein­hei­ten cm² oder m² an­ge­ge­ben wer­den.



Bei­spiel: Stell dir vor, du möch­test einen Ge­gen­stand mit Ge­schenk­pa­pier ein­wi­ckeln. Das Ge­schenk­pa­pier soll alle Au­ßen­flä­chen dei­nes Ge­gen­stands be­de­cken. Der Ober­flä­chen­in­halt gibt an, wie groß die Au­ßen­flä­chen dei­nes Ge­gen­stands ins­ge­samt sind und wie viel Ge­schenk­pa­pier du be­nö­tigst.

2
Muss dein Wis­sen zu geo­me­tri­schen Kör­pern etwas auf­ge­frischt wer­den? Auf den nächs­ten Sei­ten fin­dest du ei­ni­ge Auf­ga­ben zu Wie­der­ho­lung.

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Wie­der­ho­lung: Geo­me­tri­sche Kör­per

Mit­hil­fe der fol­gen­den Auf­ga­ben wie­der­holst du dein Wis­sen zu den geo­me­tri­schen Kör­pern und deren Ei­gen­schaf­ten. Dafür be­nö­tigst du den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten.

1
Öffne ein neues Mo­dell im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und führe die fol­gen­den Ar­beits­auf­trä­ge durch:
  • Ziehe fol­gen­de Kör­per auf die Ar­beits­flä­che: Wür­fel, Zy­lin­der, Kugel, Py­ra­mi­de, Kegel.
  • Ziehe einen zwei­ten Wür­fel auf die Ar­beits­flä­che und ver­än­de­re seine Höhe so, dass es kein Wür­fel mehr ist. Wie heißt der Kör­per?
  • Wel­che der Kör­per auf der Ar­beits­flä­che haben eine qua­dra­ti­sche Grund­flä­che? Schie­be sie nach links und alle an­de­ren Kör­per nach rechts.
2
Be­trach­te die Kör­per auf der Ar­beits­flä­che von allen Sei­ten und zähle die Ecken und Kan­ten. Schau dir au­ßer­dem die Au­ßen­flä­chen der Kör­per ge­nau­er an: Wie viele sind es und wel­che Form haben sie?
Trage deine Er­geb­nis­se in die Ta­bel­le ein.

An­zahl der Ecken

An­zahl der Kan­ten

An­zahl der Be­gren­zugs­flä­chen

Be­schrei­bung der Be­gren­zungs­flä­chen

(An­zahl und Form)

Wür­fel

8

12

6

sechs iden­ti­sche Qua­dra­te

Qua­der

8

12

6

sechs Recht­ecke (je­weils zwei davon sind iden­tisch)

Zy­lin­der

0

2

3

zwei iden­ti­sche Krei­se, ein ge­krümm­tes Recht­eck

Kugel

0

0

1

eine ge­krümm­te Flä­che

qua­dra­ti­sche Py­ra­mi­de

5

8

5

ein Qua­drat, vier iden­ti­sche Drei­ecke

Kegel

1

1

2

ein Kreis, eine ge­krümm­te Flä­che

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Wie­der­ho­lung: Kör­per­net­ze

In den vor­he­ri­gen Auf­ga­ben hast du dich mit den geo­me­tri­schen Kör­pern und den Be­gren­zungs­flä­chen be­schäf­tigt. Jetzt wol­len wir uns diese Be­gren­zungs­flä­chen ge­nau­er an­schau­en. Dafür kann man zu jedem Kör­per ein Kör­per­netz er­stel­len.

Kör­per­net­ze

Zu jedem geo­me­tri­schen Kör­per kann man ein Kör­per­netz er­stel­len. Die­ses stellt die Teil­flä­chen des Kör­pers auf­ge­klappt in der Ebene dar. Fal­tet man das Kör­per­netz zu­samm­men, ent­steht ein drei­di­men­si­o­na­ler Kör­per.



Bei­spiel: Ein Kör­per­netz kannst du dir vor­stel­len wie einen Schuh­kar­ton, bei dem man die Kle­be­la­schen an den Sei­ten auf­ge­trennt hat.

1
Be­ar­bei­te die fol­gen­den Ar­beits­auf­trä­ge. Dafür be­nö­tigst du den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten.
  • Öffne den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten. Ziehe einen Wür­fel auf die Ar­beits­flä­che und lass dir die Maße an­zei­gen. Dazu klickst du auf den Wür­fel und dann auf die Inspektor-​Funktion.

  • Zeich­ne nun ein Kör­per­netz dei­nes Wür­fels mit den rich­ti­gen Maßen.
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c)
Ver­än­de­re dei­nen Wür­fel, so­dass er ein Qua­der wird. Zieh dazu an einem der bun­ten Pfei­le. No­tie­re dir die neuen Maße und zeich­ne hier auch ein Kör­per­netz.
2
Wel­cher Kör­per ge­hört zu wel­chem Kör­per­netz? Ordne zu.
CBA
1
3
2
  • A
  • B
  • C
  • 1
  • 2
  • 3
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Wozu brau­chen wir den Ober­flä­chen­in­halt?

3
Führe die fol­gen­den Ar­beits­auf­trä­ge durch und no­tie­re dir deine Über­le­gun­gen:
  • Schau dir das Bild an und über­le­ge dabei, wozu es sinn­voll ist, den Ober­flä­chen­in­halt zu be­rech­nen.
  • Über­le­ge dir wei­te­re All­tags­si­tu­a­ti­o­nen, in denen es nütz­lich wäre, den Ober­flä­chen­in­halt zu be­rech­nen.
Keine Ideen?

Tim und Anna wol­len die Schei­ben des Aqua­ri­ums rei­ni­gen und an­schlie­ßend mit einer Schutz­fo­lie be­kle­ben. Wofür wäre dabei der Ober­flä­chen­in­halt nütz­lich?

Zu­satz­auf­ga­be:​
Stell dir vor, der Papp­kar­ton soll von außen mit Ge­schenk­pa­pier be­klebt wer­den und du möch­test aus­rech­nen, wie viel Pa­pier dafür ge­braucht wird. Über­le­ge, wie du bei der Be­rech­nung vor­ge­hen könn­test.
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Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen

4
Wir wol­len uns nun damit be­schäf­ti­gen, wie man den Ober­flä­chen­in­halt von Wür­feln und Qua­dern be­rech­net. Lies dir dafür zu­erst die In­fo­box durch.
Ober­flä­chen­in­halt

Bei jedem geo­me­tri­schen Kör­per kann man den Ober­flä­chen­in­halt (O) be­rech­nen. Er gibt an, wie groß die ge­sam­te Ober­flä­che des Kör­pers ist. Dafür wird der Flä­chen­in­halt aller äu­ße­ren Flä­chen (Be­gren­zungs­flä­chen) ad­diert.

5
In der In­fo­box hast du er­fah­ren, dass man den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen kann, indem man die Flä­chen­in­hal­te aller äu­ße­ren Be­gren­zungs­flä­chen des Kör­pers zu­sam­men­rech­net. Ver­su­che mit die­sem Wis­sen, die fol­gen­den Auf­ga­ben zu lösen:
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Wür­fels mit einer Kan­ten­län­ge von 2 cm?
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Qua­ders mit den fol­gen­den Maßen: Brei­te: 1cm, Länge: 2 cm, Höhe: 3 cm?
Hil­fe­stel­lung

Zeich­ne dir als Hil­fe­stel­lung ein Kör­per­netz dei­nes Kör­pers. Be­rech­ne dann die Flä­chen­in­hal­te aller Teil­flä­chen mit der For­mel ​​.

Wenn du alle Flä­chen­in­hal­te zu­sam­men­rech­nest, er­hältst du den Ober­flä­chen­in­halt.

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For­mel für den Ober­flä­chen­in­halt

Ge­ra­de hast du den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­net, indem du die Flä­chen­in­hal­te der ein­zel­nen Flä­chen be­rech­net und an­schlie­ßend ad­diert hast. Damit das schnel­ler und ein­fa­cher geht, gibt es eine For­mel, die diese Re­chen­schrit­te zu­sam­men­fasst.

6
Das Er­klär­vi­deo
Schau dir das Er­klär­vi­deo zum Ober­flä­chen­in­halt bei Wür­feln und Qua­dern an. Im Video wer­den die For­meln ver­ra­ten, mit denen man den Ober­flä­chen­in­halt von Wür­feln und Qua­dern be­rech­net. Pass gut auf und schrei­be sie dir auf.
https://www.tinkertoys.de/ober

https://www.tin­ker­toys.de/ober

Ober­flä­chen­in­halt beim Wür­fel

Ober­flä­chen­in­halt beim Qua­der

Wei­te­re No­ti­zen:

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Übungs­auf­ga­ben zur Be­rech­nung des Ober­flä­chen­in­halts

7
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg.
  • Ge­ge­ben ist ein Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 12 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 2 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 30 mm. Wel­che Maß­ein­heit musst du um­rech­nen, um den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen zu kön­nen? Rech­ne um und be­rech­ne dann den Ober­flä­chen­in­halt.
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Bei einem Aqua­ri­um sol­len alle Sei­ten­flä­chen mit einer Folie be­klebt wer­den. Die Ober­sei­te und der Boden sol­len nicht be­klebt wer­den. Das Aqua­ri­um hat fol­gen­de Maße: Länge: 500 mm, Brei­te: 250 mm, Höhe: 300 mm.
Fer­ti­ge eine Skiz­ze an und be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Folie be­nö­tigt wer­den. Rech­ne dein Er­geb­nis an­schlie­ßend auch in Qua­drat­me­ter um.
9
Be­ar­bei­te fol­gen­de Auf­ga­ben im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten:
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 3 cm, b = 4,5 cm, c = 3 cm. Färbe ihn grün. Kon­stru­ie­re einen Wür­fel mit einer Kan­ten­län­ge von 3 cm, Färbe ihn blau.
    Wel­cher der bei­den Qua­der hat den grö­ße­ren Ober­flä­chen­in­halt? Be­grün­de deine Ant­wort (ohne zu be­rech­nen).
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm und färbe ihn rot. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt der drei Kör­per und sor­tie­re sie von links (kleins­ter Ober­flä­chen­in­halt) nach rechts (größ­ter Ober­flä­chen­in­halt).
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Auf einen Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 4 cm wurde ein zwei­ter Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 2 cm ge­klebt. Alle sicht­ba­ren Flä­chen (auch die Un­ter­sei­te des oran­gen Wür­fels) sol­len mit bun­tem Pa­pier be­klebt wer­den. Be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Pa­pier be­nö­tigt wer­den.
11
Zu­satz­auf­ga­be:
Aus einem gro­ßen Wür­fel wurde ein klei­ne­rer Wür­fel aus­ge­schnit­ten (s. Skiz­ze). Wie hat sich der Ober­flä­chen­in­halt des Kör­pers da­durch ver­än­dert? Die Maße sind für die Ant­wort un­be­deu­tend.

  • Ge­ge­ben ist ein Wür­fel mit einer Kan­ten­län­ge von 6 cm. Be­rech­ne
Hil­fe­stel­lung:
Wenn du möch­test, kannst du die Auf­ga­be im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten nach­kon­stru­ie­ren, um es dir zu ver­an­schau­li­chen.
Zu­sätz­lich kannst du dir Maße für zwei Wür­fel aus­den­ken und be­rech­nen, wie groß der Ober­flä­chen­in­halt vor und nach dem Aus­schnei­den des klei­ne­ren Wür­fels ist.
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Zu­satz: Ober­flä­chen­in­halt beim Zy­lin­der - Her­lei­tung der For­mel

In die­sem Lern­schritt lei­ten wir ge­mein­sam her, wie der Ober­flä­chen­in­halt eines Zy­lin­ders be­rech­net wird.

12
Her­lei­tung der For­mel
Du hast in die­ser Lern­ein­heit be­reits ge­lernt, dass der Ober­flä­chen­in­halt be­rech­net wird, indem man die Flä­chen­in­hal­te der ein­zel­nen Teil­flä­chen ad­diert.

Über­le­ge ge­mein­sam mit dei­nem Part­ner​/​dei­ner Part­ne­rin. Nutzt die Zeich­nung oben als Hilfe und füllt ge­mein­sam die Ta­bel­le aus.
  • Aus wel­chen drei Flä­chen setzt sich die Ober­flä­che eines Zy­lin­ders zu­sam­men?
  • Wie viele Flä­chen gibt es je­weils?
  • Wie kann der Flä­chen­in­halt der Flä­chen be­rech­net wer­den?

Art der Flä­che

An­zahl

Be­rech­nung des Flä­chen­in­halts

Kreis

2

Recht­eck

1

•
Zu­satz:
Ein Zy­lin­der wird durch seine Höhe und sei­nen Ra­di­us de­fi­niert. Hast du eine Idee, wie man aus Ra­di­us und Höhe den Flä­chen­in­halt des Recht­ecks be­stim­men kann?
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Ober­flä­chen­in­halt beim Zy­lin­der

Um den Ober­flä­chen­in­halt eines Zy­lin­ders zu be­rech­nen muss man den Flä­chen­in­halt der bei­den kreis­för­mi­gen Au­ßen­flä­chen und den Flä­chen­in­halt der recht­ecki­gen Au­ßen­flä­che ad­die­ren. Es er­gibt sich fol­gen­de For­mel:



Man kann die For­mel um­stel­len, um sie zu ver­ein­fa­chen. Dann lau­tet sie wie folgt:



Wel­che der bei­den For­meln du für die Be­rech­nung nut­zen möch­test, kannst du selbst ent­schei­den.

13
Übungs­auf­ga­ben
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen r = 2 cm, h = 5 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen d = 24 dm, h = 40 mm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Zu­satz: Kon­stru­ie­re einen Zy­lin­der im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und be­rech­ne sei­nen Ober­flä­chen­in­halt.
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Ober­flä­chen­in­halt bei einer Kugel

Für die Be­rech­nung des Ober­flä­chen­in­halts einer Kugel wird fol­gen­de For­mel ge­nutzt:

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Übungs­auf­ga­ben
Rech­ne die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
  • Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel mit einem Ra­di­us von 2 cm.
  • Ge­ge­ben ist eine Kugel mit einem Durch­mes­ser von 50 cm. Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt?
  • Zu­satz: Kon­stru­ie­re eine Kugel im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und be­rech­ne ihren Ober­flä­chen­in­halt.
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Lö­sungs­we­ge zu den Übungs­auf­ga­ben

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In der In­fo­box hast du er­fah­ren, dass man den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen kann, indem man die Flä­chen­in­hal­te aller äu­ße­ren Be­gren­zungs­flä­chen des Kör­pers zu­sam­men­rech­net. Ver­su­che mit die­sem Wis­sen, die fol­gen­den Auf­ga­ben zu lösen:
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Wür­fels mit einer Kan­ten­län­ge von 2 cm?
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Qua­ders mit den fol­gen­den Maßen: Brei­te: 1cm, Länge: 2 cm, Höhe: 3 cm?
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Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg in dei­nem Heft.
  • Ge­ge­ben ist ein Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 12 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 2 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 20 mm. Wel­che Maß­ein­heit musst du um­rech­nen, um den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen zu kön­nen? Rech­ne um und be­rech­ne dann den Ober­flä­chen­in­halt.
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Bei einem Aqua­ri­um sol­len alle Sei­ten­flä­chen mit einer Folie be­klebt wer­den. Die Ober­sei­te und der Boden sol­len nicht be­klebt wer­den. Das Aqua­ri­um hat fol­gen­de Maße: Länge: 500 mm, Brei­te: 250 mm, Höhe: 300 mm.
Fer­ti­ge eine Skiz­ze an und be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Folie be­nö­tigt wer­den.
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Be­ar­bei­te fol­gen­de Auf­ga­ben im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten:
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 3 cm, b = 4,5 cm, c = 3 cm. Färbe ihn grün. Kon­stru­ie­re einen Wür­fel mit einer Kan­ten­län­ge von 3 cm, Färbe ihn blau.
    Wel­cher der bei­den Qua­der hat den grö­ße­ren Ober­flä­chen­in­halt? Be­grün­de deine Ant­wort (ohne zu be­rech­nen).
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm und färbe ihn rot. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt der drei Kör­per und sor­tie­re sie von links (kleins­ter Ober­flä­chen­in­halt) nach rechts (größ­ter Ober­flä­chen­in­halt).
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Auf einem Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 4 cm steht ein zwei­ter Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 2 cm. Sieh dir dazu die Skiz­ze an.
Alle sicht­ba­ren Flä­chen sol­len mit bun­tem Pa­pier be­klebt wer­den. Be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Pa­pier be­nö­tigt wer­den.
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Übungs­auf­ga­ben - Zy­lin­der
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen r = 2 cm, h = 5 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen d = 24 cm, h = 40 mm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
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Übungs­auf­ga­ben - Kugel
Rech­ne die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
  • Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel mit einem Ra­di­us von 2 cm.
  • Ge­ge­ben ist eine Kugel mit einem Durch­mes­ser von 50 cm. Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt?
  • Zu­satz: Kon­stru­ie­re eine Kugel im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und be­rech­ne ihren Ober­flä­chen­in­halt.
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5, 6
22.05.2025
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