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  • Oberflächeninhalt - TinkerSchool-Lerneinheit
  • TinkerToys GmbH
  • 22.05.2025
  • Allgemeine Hochschulreife, Berufsbildungsreife, Fachhochschulreife, Mittlere Reife
  • Mathematik
  • 5, 6
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Zusatzinfos und Lösungen für Lehrkräfte

In dieser Lerneinheit wiederholen die SuS ihr Wissen zu geometrischen Körpern und zu Körpernetzen. Anschließend machen sie sich mit dem Begriff und der Berechnung des Oberflächeninhalts von Würfeln und Quadern vertraut.

Außerdem erhalten sie eine kurze Einführung zur Berechnung des Oberflächeninhalts bei Kugel und Zylinder.

Bearbeitungsdauer: 4 Unterrichtsstunden



Benötigtes Material: Außer eurem PC/Tablet braucht ihr für diese Lerneinheit nichts Weiteres.



Lernziele:

  • Die SuS beschreiben Anwendungsbeispiele für das Berechnen des Oberflächeninhalts.

  • Sie wiederholen ihr Wissen zu geometrischen Körpern und Körpernetzen.

  • Sie nennen die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts bei Würfeln und Quadern und wenden sie an.

  • Sie nennen die Formeln zur Berechnung des Oberflächeninhalts bei Kugeln und Zylindern und wenden sie an.



Lizenz:

Du darfst diese Lerneinheit unter Angabe des Urhebers teilen und verändern (zu gleichen Lizenzbedingungen). Erfahre mehr dazu unter: https://creativecommons.org/licenses/?lang=de

Name:
Oberflächeninhalt - TinkerSchool-Lerneinheit
09.11.2022
Ober­flä­chen­in­halt

In die­sem Kurs wie­der­holst du dein Wis­sen zu geo­me­tri­schen Kör­pern und Kör­per­net­zen. Du lernst, wie man den Ober­flä­chen­in­halt geo­me­tri­scher Kör­per be­rech­net und führst mit­hil­fe des Di­gi­ta­len Bau­kas­tens Übun­gen dazu durch.

Ober­flä­che und Ober­flä­chen­in­halt - Was ist das?

1
Wir be­schäf­ti­gen uns in die­ser Lern­ein­heit mit dem Ober­flä­chen­in­halt von geo­me­tri­schen Kör­pern. Lies dir zu­erst die In­fo­box gründ­lich durch.

Ober­flä­che und Ober­flä­chen­in­halt

Jeder geo­me­tri­sche Kör­per hat eine Ober­flä­che. Sie ist so­zu­sa­gen die Hülle des Kör­pers und be­steht aus allen Flä­chen, die du von außen sehen und an­fas­sen kannst.



Der Ober­flä­chen­in­halt gibt an, wie groß die ge­sam­te Ober­flä­che eines geo­me­tri­schen Kör­pers ist. Er kann z.B. in den Ein­hei­ten cm² oder m² an­ge­ge­ben wer­den.



Bei­spiel: Stell dir vor, du möch­test einen Ge­gen­stand mit Ge­schenk­pa­pier ein­wi­ckeln. Das Ge­schenk­pa­pier soll alle Au­ßen­flä­chen dei­nes Ge­gen­stands be­de­cken. Der Ober­flä­chen­in­halt gibt an, wie groß die Au­ßen­flä­chen dei­nes Ge­gen­stands ins­ge­samt sind und wie viel Ge­schenk­pa­pier du be­nö­tigst.

2
Muss dein Wis­sen zu geo­me­tri­schen Kör­pern etwas auf­ge­frischt wer­den? Auf den nächs­ten Sei­ten fin­dest du ei­ni­ge Auf­ga­ben zu Wie­der­ho­lung.

Mathematik
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Wie­der­ho­lung: Geo­me­tri­sche Kör­per

Mit­hil­fe der fol­gen­den Auf­ga­ben wie­der­holst du dein Wis­sen zu den geo­me­tri­schen Kör­pern und deren Ei­gen­schaf­ten. Dafür be­nö­tigst du den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten.

1
Öffne ein neues Mo­dell im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und führe die fol­gen­den Ar­beits­auf­trä­ge durch:
  • Ziehe fol­gen­de Kör­per auf die Ar­beits­flä­che: Wür­fel, Zy­lin­der, Kugel, Py­ra­mi­de, Kegel.
  • Ziehe einen zwei­ten Wür­fel auf die Ar­beits­flä­che und ver­än­de­re seine Höhe so, dass es kein Wür­fel mehr ist. Wie heißt der Kör­per?
  • Wel­che der Kör­per auf der Ar­beits­flä­che haben eine qua­dra­ti­sche Grund­flä­che? Schie­be sie nach links und alle an­de­ren Kör­per nach rechts.
2
Be­trach­te die Kör­per auf der Ar­beits­flä­che von allen Sei­ten und zähle die Ecken und Kan­ten. Schau dir au­ßer­dem die Au­ßen­flä­chen der Kör­per ge­nau­er an: Wie viele sind es und wel­che Form haben sie?
Trage deine Er­geb­nis­se in die Ta­bel­le ein.

An­zahl der Ecken

An­zahl der Kan­ten

An­zahl der Be­gren­zugs­flä­chen

Be­schrei­bung der Be­gren­zungs­flä­chen

(An­zahl und Form)

Wür­fel

8

12

6

sechs iden­ti­sche Qua­dra­te

Qua­der

8

12

6

sechs Recht­ecke (je­weils zwei davon sind iden­tisch)

Zy­lin­der

0

2

3

zwei iden­ti­sche Krei­se, ein ge­krümm­tes Recht­eck

Kugel

0

0

1

eine ge­krümm­te Flä­che

qua­dra­ti­sche Py­ra­mi­de

5

8

5

ein Qua­drat, vier iden­ti­sche Drei­ecke

Kegel

1

1

2

ein Kreis, eine ge­krümm­te Flä­che

Mathematik
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09.11.2022

Wie­der­ho­lung: Kör­per­net­ze

In den vor­he­ri­gen Auf­ga­ben hast du dich mit den geo­me­tri­schen Kör­pern und den Be­gren­zungs­flä­chen be­schäf­tigt. Jetzt wol­len wir uns diese Be­gren­zungs­flä­chen ge­nau­er an­schau­en. Dafür kann man zu jedem Kör­per ein Kör­per­netz er­stel­len.

Kör­per­net­ze

Zu jedem geo­me­tri­schen Kör­per kann man ein Kör­per­netz er­stel­len. Die­ses stellt die Teil­flä­chen des Kör­pers auf­ge­klappt in der Ebene dar. Fal­tet man das Kör­per­netz zu­samm­men, ent­steht ein drei­di­men­si­o­na­ler Kör­per.



Bei­spiel: Ein Kör­per­netz kannst du dir vor­stel­len wie einen Schuh­kar­ton, bei dem man die Kle­be­la­schen an den Sei­ten auf­ge­trennt hat.

1
Be­ar­bei­te die fol­gen­den Ar­beits­auf­trä­ge. Dafür be­nö­tigst du den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten.
  • Öffne den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten. Ziehe einen Wür­fel auf die Ar­beits­flä­che und lass dir die Maße an­zei­gen. Dazu klickst du auf den Wür­fel und dann auf die Inspektor-​Funktion.

  • Zeich­ne nun ein Kör­per­netz dei­nes Wür­fels mit den rich­ti­gen Maßen.
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c)
Ver­än­de­re dei­nen Wür­fel, so­dass er ein Qua­der wird. Zieh dazu an einem der bun­ten Pfei­le. No­tie­re dir die neuen Maße und zeich­ne hier auch ein Kör­per­netz.
2
Wel­cher Kör­per ge­hört zu wel­chem Kör­per­netz? Ordne zu.
CBACBA
1
3
2
1
3
2
  • A
  • B
  • C
  • 1
  • 2
  • 3
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Wozu brau­chen wir den Ober­flä­chen­in­halt?

3
Führe die fol­gen­den Ar­beits­auf­trä­ge durch und no­tie­re dir deine Über­le­gun­gen:
  • Schau dir das Bild an und über­le­ge dabei, wozu es sinn­voll ist, den Ober­flä­chen­in­halt zu be­rech­nen.
  • Über­le­ge dir wei­te­re All­tags­si­tu­a­ti­o­nen, in denen es nütz­lich wäre, den Ober­flä­chen­in­halt zu be­rech­nen.
Keine Ideen?

Tim und Anna wol­len die Schei­ben des Aqua­ri­ums rei­ni­gen und an­schlie­ßend mit einer Schutz­fo­lie be­kle­ben. Wofür wäre dabei der Ober­flä­chen­in­halt nütz­lich?

Zu­satz­auf­ga­be:​
Stell dir vor, der Papp­kar­ton soll von außen mit Ge­schenk­pa­pier be­klebt wer­den und du möch­test aus­rech­nen, wie viel Pa­pier dafür ge­braucht wird. Über­le­ge, wie du bei der Be­rech­nung vor­ge­hen könn­test.
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Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen

4
Wir wol­len uns nun damit be­schäf­ti­gen, wie man den Ober­flä­chen­in­halt von Wür­feln und Qua­dern be­rech­net. Lies dir dafür zu­erst die In­fo­box durch.
Ober­flä­chen­in­halt

Bei jedem geo­me­tri­schen Kör­per kann man den Ober­flä­chen­in­halt (O) be­rech­nen. Er gibt an, wie groß die ge­sam­te Ober­flä­che des Kör­pers ist. Dafür wird der Flä­chen­in­halt aller äu­ße­ren Flä­chen (Be­gren­zungs­flä­chen) ad­diert.

5
In der In­fo­box hast du er­fah­ren, dass man den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen kann, indem man die Flä­chen­in­hal­te aller äu­ße­ren Be­gren­zungs­flä­chen des Kör­pers zu­sam­men­rech­net. Ver­su­che mit die­sem Wis­sen, die fol­gen­den Auf­ga­ben zu lösen:
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Wür­fels mit einer Kan­ten­län­ge von 2 cm?
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Qua­ders mit den fol­gen­den Maßen: Brei­te: 1cm, Länge: 2 cm, Höhe: 3 cm?
Hil­fe­stel­lung

Zeich­ne dir als Hil­fe­stel­lung ein Kör­per­netz dei­nes Kör­pers. Be­rech­ne dann die Flä­chen­in­hal­te aller Teil­flä­chen mit der For­mel ​​.

Wenn du alle Flä­chen­in­hal­te zu­sam­men­rech­nest, er­hältst du den Ober­flä­chen­in­halt.

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For­mel für den Ober­flä­chen­in­halt

Ge­ra­de hast du den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­net, indem du die Flä­chen­in­hal­te der ein­zel­nen Flä­chen be­rech­net und an­schlie­ßend ad­diert hast. Damit das schnel­ler und ein­fa­cher geht, gibt es eine For­mel, die diese Re­chen­schrit­te zu­sam­men­fasst.

6
Das Er­klär­vi­deo
Schau dir das Er­klär­vi­deo zum Ober­flä­chen­in­halt bei Wür­feln und Qua­dern an. Im Video wer­den die For­meln ver­ra­ten, mit denen man den Ober­flä­chen­in­halt von Wür­feln und Qua­dern be­rech­net. Pass gut auf und schrei­be sie dir auf.
https://www.tinkertoys.de/ober

https://www.tin­ker­toys.de/ober

Ober­flä­chen­in­halt beim Wür­fel

Ober­flä­chen­in­halt beim Qua­der

Wei­te­re No­ti­zen:

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Übungs­auf­ga­ben zur Be­rech­nung des Ober­flä­chen­in­halts

7
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg.
  • Ge­ge­ben ist ein Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 12 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 2 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 30 mm. Wel­che Maß­ein­heit musst du um­rech­nen, um den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen zu kön­nen? Rech­ne um und be­rech­ne dann den Ober­flä­chen­in­halt.
Mathematik
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8
Bei einem Aqua­ri­um sol­len alle Sei­ten­flä­chen mit einer Folie be­klebt wer­den. Die Ober­sei­te und der Boden sol­len nicht be­klebt wer­den. Das Aqua­ri­um hat fol­gen­de Maße: Länge: 500 mm, Brei­te: 250 mm, Höhe: 300 mm.
Fer­ti­ge eine Skiz­ze an und be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Folie be­nö­tigt wer­den. Rech­ne dein Er­geb­nis an­schlie­ßend auch in Qua­drat­me­ter um.
9
Be­ar­bei­te fol­gen­de Auf­ga­ben im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten:
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 3 cm, b = 4,5 cm, c = 3 cm. Färbe ihn grün. Kon­stru­ie­re einen Wür­fel mit einer Kan­ten­län­ge von 3 cm, Färbe ihn blau.
    Wel­cher der bei­den Qua­der hat den grö­ße­ren Ober­flä­chen­in­halt? Be­grün­de deine Ant­wort (ohne zu be­rech­nen).
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm und färbe ihn rot. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt der drei Kör­per und sor­tie­re sie von links (kleins­ter Ober­flä­chen­in­halt) nach rechts (größ­ter Ober­flä­chen­in­halt).
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10
Auf einen Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 4 cm wurde ein zwei­ter Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 2 cm ge­klebt. Alle sicht­ba­ren Flä­chen (auch die Un­ter­sei­te des oran­gen Wür­fels) sol­len mit bun­tem Pa­pier be­klebt wer­den. Be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Pa­pier be­nö­tigt wer­den.
11
Zu­satz­auf­ga­be:
Aus einem gro­ßen Wür­fel wurde ein klei­ne­rer Wür­fel aus­ge­schnit­ten (s. Skiz­ze). Wie hat sich der Ober­flä­chen­in­halt des Kör­pers da­durch ver­än­dert? Die Maße sind für die Ant­wort un­be­deu­tend.

  • Ge­ge­ben ist ein Wür­fel mit einer Kan­ten­län­ge von 6 cm. Be­rech­ne
Hil­fe­stel­lung:
Wenn du möch­test, kannst du die Auf­ga­be im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten nach­kon­stru­ie­ren, um es dir zu ver­an­schau­li­chen.
Zu­sätz­lich kannst du dir Maße für zwei Wür­fel aus­den­ken und be­rech­nen, wie groß der Ober­flä­chen­in­halt vor und nach dem Aus­schnei­den des klei­ne­ren Wür­fels ist.
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Zu­satz: Ober­flä­chen­in­halt beim Zy­lin­der - Her­lei­tung der For­mel

In die­sem Lern­schritt lei­ten wir ge­mein­sam her, wie der Ober­flä­chen­in­halt eines Zy­lin­ders be­rech­net wird.

12
Her­lei­tung der For­mel
Du hast in die­ser Lern­ein­heit be­reits ge­lernt, dass der Ober­flä­chen­in­halt be­rech­net wird, indem man die Flä­chen­in­hal­te der ein­zel­nen Teil­flä­chen ad­diert.

Über­le­ge ge­mein­sam mit dei­nem Part­ner​/​dei­ner Part­ne­rin. Nutzt die Zeich­nung oben als Hilfe und füllt ge­mein­sam die Ta­bel­le aus.
  • Aus wel­chen drei Flä­chen setzt sich die Ober­flä­che eines Zy­lin­ders zu­sam­men?
  • Wie viele Flä­chen gibt es je­weils?
  • Wie kann der Flä­chen­in­halt der Flä­chen be­rech­net wer­den?

Art der Flä­che

An­zahl

Be­rech­nung des Flä­chen­in­halts

Kreis

2

Recht­eck

1

•
Zu­satz:
Ein Zy­lin­der wird durch seine Höhe und sei­nen Ra­di­us de­fi­niert. Hast du eine Idee, wie man aus Ra­di­us und Höhe den Flä­chen­in­halt des Recht­ecks be­stim­men kann?
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Ober­flä­chen­in­halt beim Zy­lin­der

Um den Ober­flä­chen­in­halt eines Zy­lin­ders zu be­rech­nen muss man den Flä­chen­in­halt der bei­den kreis­för­mi­gen Au­ßen­flä­chen und den Flä­chen­in­halt der recht­ecki­gen Au­ßen­flä­che ad­die­ren. Es er­gibt sich fol­gen­de For­mel:



Man kann die For­mel um­stel­len, um sie zu ver­ein­fa­chen. Dann lau­tet sie wie folgt:



Wel­che der bei­den For­meln du für die Be­rech­nung nut­zen möch­test, kannst du selbst ent­schei­den.

13
Übungs­auf­ga­ben
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen r = 2 cm, h = 5 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen d = 24 dm, h = 40 mm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Zu­satz: Kon­stru­ie­re einen Zy­lin­der im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und be­rech­ne sei­nen Ober­flä­chen­in­halt.
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Ober­flä­chen­in­halt bei einer Kugel

Für die Be­rech­nung des Ober­flä­chen­in­halts einer Kugel wird fol­gen­de For­mel ge­nutzt:

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Übungs­auf­ga­ben
Rech­ne die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
  • Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel mit einem Ra­di­us von 2 cm.
  • Ge­ge­ben ist eine Kugel mit einem Durch­mes­ser von 50 cm. Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt?
  • Zu­satz: Kon­stru­ie­re eine Kugel im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und be­rech­ne ihren Ober­flä­chen­in­halt.
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Lö­sungs­we­ge zu den Übungs­auf­ga­ben

5
In der In­fo­box hast du er­fah­ren, dass man den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen kann, indem man die Flä­chen­in­hal­te aller äu­ße­ren Be­gren­zungs­flä­chen des Kör­pers zu­sam­men­rech­net. Ver­su­che mit die­sem Wis­sen, die fol­gen­den Auf­ga­ben zu lösen:
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Wür­fels mit einer Kan­ten­län­ge von 2 cm?
  • Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt eines Qua­ders mit den fol­gen­den Maßen: Brei­te: 1cm, Länge: 2 cm, Höhe: 3 cm?
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Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg in dei­nem Heft.
  • Ge­ge­ben ist ein Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 12 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 2 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 20 mm. Wel­che Maß­ein­heit musst du um­rech­nen, um den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen zu kön­nen? Rech­ne um und be­rech­ne dann den Ober­flä­chen­in­halt.
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Bei einem Aqua­ri­um sol­len alle Sei­ten­flä­chen mit einer Folie be­klebt wer­den. Die Ober­sei­te und der Boden sol­len nicht be­klebt wer­den. Das Aqua­ri­um hat fol­gen­de Maße: Länge: 500 mm, Brei­te: 250 mm, Höhe: 300 mm.
Fer­ti­ge eine Skiz­ze an und be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Folie be­nö­tigt wer­den.
9
Be­ar­bei­te fol­gen­de Auf­ga­ben im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten:
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 3 cm, b = 4,5 cm, c = 3 cm. Färbe ihn grün. Kon­stru­ie­re einen Wür­fel mit einer Kan­ten­län­ge von 3 cm, Färbe ihn blau.
    Wel­cher der bei­den Qua­der hat den grö­ße­ren Ober­flä­chen­in­halt? Be­grün­de deine Ant­wort (ohne zu be­rech­nen).
  • Kon­stru­ie­re einen Qua­der mit den Maßen a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm und färbe ihn rot. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt der drei Kör­per und sor­tie­re sie von links (kleins­ter Ober­flä­chen­in­halt) nach rechts (größ­ter Ober­flä­chen­in­halt).
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Auf einem Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 4 cm steht ein zwei­ter Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 2 cm. Sieh dir dazu die Skiz­ze an.
Alle sicht­ba­ren Flä­chen sol­len mit bun­tem Pa­pier be­klebt wer­den. Be­rech­ne, wie viele Qua­drat­zen­ti­me­ter Pa­pier be­nö­tigt wer­den.
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Übungs­auf­ga­ben - Zy­lin­der
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. No­tie­re den Lö­sungs­weg.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen r = 2 cm, h = 5 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
  • Ge­ge­ben ist ein Zy­lin­der mit den Maßen d = 24 cm, h = 40 mm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
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Übungs­auf­ga­ben - Kugel
Rech­ne die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
  • Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt einer Kugel mit einem Ra­di­us von 2 cm.
  • Ge­ge­ben ist eine Kugel mit einem Durch­mes­ser von 50 cm. Wie groß ist der Ober­flä­chen­in­halt?
  • Zu­satz: Kon­stru­ie­re eine Kugel im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten und be­rech­ne ihren Ober­flä­chen­in­halt.
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