• Oberflächeninhalt und Volumen - TinkerSchool-Lerneinheit
  • TinkerToys GmbH
  • 12.06.2023
  • Allgemeine Hochschulreife, Berufsbildungsreife, Fachhochschulreife, Mittlere Reife
  • Mathematik
  • 5, 6
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Ober­flä­chen­in­halt und
Vo­lu­men

Der Kurs gibt dir noch ein­mal eine Wie­der­ho­lung zu den geo­me­tri­schen Kör­pern. Dar­auf auf­bau­end be­rech­nest du mit Hilfe des Di­gi­ta­len Bau­kas­tens den Ober­flä­chen­in­halt und das Vo­lu­men. Du er­fährst wieso die Be­rech­nung dir im All­tag hel­fen kann und führst dazu in­ter­es­san­te Text­auf­ga­ben durch.

Wie­der­ho­lung: geo­me­tri­sche Kör­per

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Geo­me­tri­sche Kör­per
  • Zieh dir die fol­gen­den geo­me­tri­schen Kör­per auf die Ar­beits­flä­che. Dafür gehst du links oben in das rote Fens­ter und ziehst die Kör­per auf die Flä­che, in dem du sie ge­drückt auf die Flä­che ziehst und dann los­lässt.

Füge fol­gen­de Kör­per ein:
Wür­fel, Kugel, Zy­lin­der, Py­ra­mi­de, Pris­ma (drei­sei­tig und sechs­sei­tig), Kegel
2
Kör­per ge­nau­er be­trach­ten
  • Wie musst du deine An­sicht ver­än­dern, so­dass du die Grund­flä­chen der Kör­per er­ken­nen kannst? Wie musst du deine An­sicht ver­än­dern, um die Ober­flä­chen dei­ner Kör­per zu sehen? Wie hei­ßen die Per­spek­ti­ven?


Frosch­per­spek­ti­ve, Vo­gel­per­spek­ti­ve
  • Bei wel­chen Kör­pern sehen Grund-​ und Deck­flä­che gleich aus?


Beim Wür­fel, Zy­lin­der, Kugel und Pris­ma sehen Grund-​ und Deck­flä­che iden­tisch aus.
  • Aus wel­chen Grund­flä­chen be­stehen die Kör­per je­weils?


Wür­fel: 6 iden­ti­sche Qua­dra­te, Kegel: 1 Kreis und 1 ge­krümm­te Be­gren­zungs­flä­che, Zy­lin­der: 2 Krei­se und 1 ge­krümm­te Be­gren­zungs­flä­che, Kugel: 1 ge­krümm­te Be­gren­zungs­flä­che, Pris­ma: 2 Sechs­ecke und 6 Qua­der, Py­ra­mi­de: 1 Qua­drat und 4 Recht­ecke.
  • Ver­än­de­re deine An­sicht für jeden Kör­per so, dass du alle Be­gren­zungs­flä­chen gut sehen kannst. Aus wel­chen (zwei­di­men­si­o­na­len) Be­gren­zungs­flä­chen be­stehen die Kör­per? Bei wel­chen Kör­pern sehen alle Be­gren­zungs­flä­chen gleich aus?


Wür­fel: 6 iden­ti­sche Qua­dra­te, Kegel: 1 Kreis und 1 ge­krümm­te Be­gren­zungs­flä­che,
Zy­lin­der: 2 Krei­se und 1 ge­krümm­te Be­gren­zungs­flä­che, Kugel: 1 ge­krümm­te Begrenzungs-​ flä­che, Pris­ma: 2 Sechs­ecke und 6 Qua­der, Py­ra­mi­de: 1 Qua­drat und 4 Recht­ecke.
  • Wie viele Ecken und Kan­ten haben deine Kör­per je­weils? Be­schrei­be sie.


Wür­fel: Ecken 8, Kan­ten 12, Flä­chen 6, alle ge­ra­de; Kegel: Ecken 1, Kan­ten 1, Flä­chen 2, alle ge­krümmt; Zy­lin­der: Ecken 0, Kan­ten 2, Flä­chen 3, alle ge­krümmt; Kugel: Ecken/Kan­ten: 0, Flä­chen: 1; alle ge­krümmt; Pris­ma: Ecken: 12, Kan­ten: 18, Flä­chen: 8, alle ge­ra­de; Py­ra­mi­de: Ecken: 5, Kan­ten: 8, Flä­chen: 5, alle ge­ra­de.

Wie­der­ho­lung: Kör­per­net­ze

Im ers­ten Lern­schritt hast du dich mit den geo­me­tri­schen Kör­pern und den Be­gren­zungs­flä­chen be­schäf­tigt. Jetzt wol­len wir uns diese Be­gren­zungs­flä­chen ge­nau­er an­schau­en. Dafür kann man zu jedem Kör­per ein Kör­per­netz er­stel­len. Das hast du schon in der Grund­schu­le ge­lernt.

Kör­per­net­ze

Zu jedem geo­me­tri­schen Kör­per kann man ein Kör­per­netz er­stel­len. Die­ses stellt die Teil­flä­chen des Kör­pers auf­ge­klappt in der Ebene dar. Fal­tet man das Kör­per­netz zu­samm­men, ent­steht ein drei­di­men­si­o­na­ler Kör­per.

Bei­spiel:

Ein Kör­per­netz kannst du dir vor­stel­len, wie einen Schuh­kar­ton, bei dem man die Kle­be­la­schen an den Sei­ten auf­ge­trennt hat.

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Der Wür­fel
  • Öffne den Di­gi­ta­len Bau­kas­ten. Ziehe einen Wür­fel auf die Ar­beits­flä­che und lass dir die Maße an­zei­gen. Dazu klickst du auf den Wür­fel und dann auf die Inspektor-​Funktion.
  • Zeich­ne nun in dein Heft ein Kör­per­netz des Wür­fels mit den Maßen. Jedes
    Käst­chen in dei­nem Heft steht für 1 cm.
Hilfe bei der Um­rech­nung:

10 mm = 1 cm  

20 mm = 2 cm

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Vom Wür­fel zum Qua­der
  • Ver­än­de­re dei­nen Wür­fel, so­dass er ein Qua­der wird. Zieh dazu an einem der bun­ten Pfei­le. Schrei­be die neuen Maße aus dem Di­gi­ta­len Bau­kas­ten in dein Heft. Zeich­ne hier auch ein Kör­per­netz. Jedes Käst­chen steht wie­der für 1 cm.

Bei­spiel für das Kör­per­netz eines Qua­ders mit den fol­gen­dem Maßen:

2 x 2 x 4 cm

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Qua­der­net­ze zu­ord­nen
  • Hier siehst du drei Qua­der­net­ze. Wel­cher Kör­per ge­hört zu wel­chem Kör­per­netz? Ordne zu.
CBA
132
  • A
  • B
  • C
  • 1
  • 2
  • 3

Ober­flä­chen­in­halt und Vo­lu­men - Wozu brau­chen wir das?

Jetzt bist du mit der Wie­der­ho­lung zu der Lern­ein­heit fer­tig.



Wir be­schäf­ti­gen uns jetzt mit dem Ober­flä­chen­in­halt und dem Vo­lu­men von Kör­pern. Der Ober­flä­chen­in­halt zeigt dir, wie viel alle Be­gren­zungs­flä­chen zu­sam­men er­ge­ben. Das hast du schon aus­pro­biert, als du mit­hil­fe von den Steck­ver­bin­dun­gen Sei­ten­flä­chen an dei­nen Wür­fel ge­steckt hast. Die Be­gren­zungs­flä­chen siehst du auch an­hand dei­ner Kör­per­net­ze. Der Ober­flä­chen­in­halt gibt also die ge­sam­te Ober­flä­che eines Kör­pers an.



Das Vo­lu­men eines Kör­pers sagt dir, wie viel In­halt ein Kör­per hat. Es be­schreibt also die Fül-

lung eines Kör­pers.



Aber wozu brau­chen wir das?

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Wozu brau­chen wir das?
Schau dir die Bil­der an und über­le­ge dabei, wozu es sinn­voll ist, das zu be­rech­nen.
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Vo­lu­men und Ober­flä­chen­in­halt im All­tag
Schrei­be in dein Heft wei­te­re Si­tu­a­ti­o­nen im All­tag auf, wo das Be­rech­nen von Ober­flä­chen­in­halt und Vo­lu­men wich­tig sein kann. Stellt euch eure Ideen ge­gen­sei­tig vor.

Tipps: Du willst zu Weih­nach­ten oder Os­tern Ge­schen­ke ver­pa­cken. Was hilft dir?
Du willst Mar­me­la­de ko­chen und hast 10 Glä­ser mit einer be­stimm­ten Füll­men­ge. Was kann dir hier hel­fen?

Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen

Jetzt geht es ge­nau­er um den Ober­flä­chen­in­halt. Wir be­rech­nen in die­sem Lern­schritt den

Ober­flä­chen­in­halt von Wür­fel, Qua­der, Zy­lin­der und Kugel.

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Der Wür­fel
Lies dir zu­erst die In­fo­box durch. Schrei­be sie in dein Heft.
Ober­flä­chen­in­halt

Bei jedem geo­me­tri­schen Kör­per kann man einen Ober­flä­chen­in­halt (O) be­rech­nen. Der Ober­flä­chen­in­halt setzt sich zu­sam­men aus allen äu­ße­ren Flä­chen. Die äu­ße­ren Flä­chen sind die Flä­chen, die du be­rüh­ren kannst, wenn du den Kör­per in der Hand hältst.

Ober­flä­chen­in­halt bei Wür­fel und Qua­der

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Das Er­klär­vi­deo
Schau dir das Er­klär­vi­deo zum Ober­flä­chen­in­halt bei Wür­feln und Qua­dern an. Im Video wird die For­mel ver­ra­ten, wie man den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­net. Pass gut auf und schrei­be sie dir her­aus in dein Heft:
Lö­sung:
Wür­fel O = 6⋅a
Qua­der O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c

https://www.tin­ker­toys.de/ober

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Text­auf­ga­be 1
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
Du hast einen Wür­fel mit einer Sei­ten­län­ge von 12 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
O = 6⋅a= cm2
Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 2 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
O = 2⋅2 cm⋅4 cm + 2⋅2 cm⋅6 cm + 2⋅4 cm ⋅6 cm = 88 cm2
Du hast einen Qua­der mit den Maßen: a = 4 cm, b= 3 cm, c=20 mm. Wel­che Maß­ein­heit musst du um­rech­nen, um den Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen zu kön­nen? Rech­ne um und be­rech­ne dann den Ober­flä­chen­in­halt.
c = 2 cm
O = 2⋅ 4 cm⋅3 cm + 2⋅4 cm⋅2cm + 2⋅3 cm⋅2cm = 52 cm2

Ober­flä­chen­in­halt bei einem Zy­lin­der

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Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen
Die For­mel zum Be­rech­nen des Ober­flä­chen­in­halts bei einem Zy­lin­der sieht so aus. Schrei­be sie in dein Heft. Die Zah­len be­deu­ten:
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Text­auf­ga­be 2
Be­ar­bei­te die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
Du hast einen Zy­lin­der mit den Maßen r = 2 cm, h = 5 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
O = (2⋅π⋅2cm2) + (2⋅π⋅2cm⋅5cm) = 56,55cm2
Du hast einen Zy­lin­der mit den Maßen r = 12 cm, h = 40 mm. Rech­ne die Höhe um und be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
h=4 cm
O = (2⋅π⋅12cm2) + (2⋅π⋅12cm ⋅4cm) = 804,25 cm2

Ober­flä­chen­in­halt bei einer Kugel

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Ober­flä­chen­in­halt be­rech­nen
Die For­mel zum Be­rech­nen des Ober­flä­chen­in­halts bei einer Kugel sieht so aus. Schrei­be sie in dein Heft. Die Zah­len be­deu­ten:
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Text­auf­ga­be 3
Rech­ne die Text­auf­ga­ben. Schrei­be sie in dein Heft.
Du hast eine Kugel mit r = 2 cm. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
O = 4⋅π⋅2cm2 = 50,27cm2
Du hast eine Kugel, die 4-mal so groß ist wie in 1. Be­rech­ne den Ober­flä­chen­in­halt.
O = 4⋅π⋅8cm2 = 804,25cm2

Vo­lu­men be­rech­nen

Als nächs­tes be­schäf­ti­gen wir uns mit dem Vo­lu­men von Kör­pern. Wir schau­en uns nun also

nicht mehr die äu­ße­ren Flä­chen eines Kör­pers an, son­dern das In­nen­le­ben. Jeder Schü­ler

und jede Schü­le­rin sol­len min­des­tens bis Auf­ga­be 3 be­ar­bei­ten. Die Auf­ga­ben da­nach sind

ein Zu­satz.

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Vo­lu­men­be­rech­nung eines Wür­fels
Schrei­be in dein Heft:

Um die Fül­lung (Vo­lu­men) von Wür­feln und Qua­dern zu ver­ste­hen, be­nutzt man häu­fig die

Fül­lung mit Ein­heits­wür­feln.

Ein Ein­heits­wür­fel ist V= 1 * 1 * 1 cm = 1 cm³. Wie das im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten aus­sieht, siehst

du hier:

Die bun­ten Wür­fel sind die Ein­heits­wür­fel mit einer Größe von 1 cm³ (im Bau­kas­ten in mm an­ge­ge­ben. 10 mm= 1 cm). Der Wür­fel hat eine Kan­ten­län­ge von 40 mm, also 4 cm. Es pas­sen somit 4 Ein­heits­wür­fel an jede Kan­ten­län­ge. Das Vo­lu­men des Wür­fels be­trägt 64 cm³ mit der For­mel a * a * a .

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Wür­fel­kon­struk­ti­on im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten
Ver­su­che das Bild oben im Di­gi­ta­len Bau­kas­ten nach­zu­bau­en. Schaue dir zur Hilfe noch mal das Video von ganz zu An­fang an, wenn du nicht mehr weißt, wie man Lö­cher schnei­det. Das brauchst du, um das Kan­ten­mo­dell zu er­stel­len. Dein Mo­dell wird au­to­ma­tisch ge­spei­chert und deine Lehr­kraft kann es sich dann in Tin­ker­School an­schau­en. Du kannst auch wei­te­re Mo­del­le mit an­de­ren Maßen als Zu­satz bauen.

Wie viele Wür­fel brauchst du, um den ge­sam­ten Wür­fel mit der Kan­ten­län­ge 4cm zu fül­len?
  • Kli­cken Sie dop­pelt oder auf den Stift, um den In­halt di­rekt im rech­ten Menü zu be­ar­bei­ten.
  • Nut­zen Sie den roten Ra­dier­gum­mi oben rechts im Menü des Bau­steins, um sei­nen In­halt zu lee­ren.
V = 4 Wür­fel in Brei­te ⋅4 Wür­fel in Tiefe ⋅4Wür­fel in Höhe = 64 Wür­fel
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Vo­lu­men­be­rech­nung
Be­rech­ne das Vo­lu­men die­ser Wür­fel und Qua­der. Schrei­be die Re­chen­we­ge und Lö­sun­gen in dein Heft.

Lö­sung: V = 3cm⋅3cm⋅3cm = 27 cm³

Lö­sung: V = 2,9cm⋅2cm⋅4,8cm = 27,84 cm³

Lö­sung: V = 3cm⋅3cm⋅5,5cm = 49,5 cm3

Lö­sung: V = 2cm⋅2cm⋅4,8cm = 19,2 cm3

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Zu­satz: Vo­lu­men von Zy­lin­der und Kugel
Wir kön­nen na­tür­lich auch von einem Zy­lin­der und einer Kugel das Vo­lu­men be­rech­nen. Die For­meln dazu siehst du hier:
Be­rech­ne das Vo­lu­men eines Zy­lin­ders, der 12 cm hoch ist und einen Ra­di­us von 4 cm hat.
V = π⋅4 cm²⋅12cm = 603,185 cm3
Be­rech­ne das Vo­lu­men einer Kugel mit dem Ra­di­us 3 cm.
V = 3/4⋅π⋅3cm³ = 63,617cm3
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