Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten

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Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten
28.05.2024

Po­tenz­funk­ti­o­nen mit ne­ga­ti­ven Ex­po­nen­ten f(x) = x⁻​n​

1
Statt Funk­ti­o­nen mit na­tür­li­chen Ex­po­nen­ten be­trach­ten wir nun Funk­ti­o­nen mit ganz­zah­li­gen Ex­po­nen­ten, ge­nau­er ge­sagt mit ​ne­ga­ti­ven​ ganz­zah­li­gen Ex­po­nen­ten.

Be­rech­ne die feh­len­den Werte der Wer­te­ta­bel­le. Runde auf zwei De­zi­mal­stel­len.

x

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

1

1,5

2

f (x) = x⁻¹

-0,5

-0,67

-1

-2

2

1

0,67

0,5

g (x) = x⁻²

0,25

0,44

1

4

4

1

0,44

0,25

h (x) = x⁻³

-0,13

-0,3

-1

-8

8

1

0,3

0,13

i (x) = x⁻⁴

0,06

0,2

1

16

16

1

0,2

0,06

2
Zeich­ne, so­weit mög­lich, die vier Funk­ti­o­nen in der je­wei­li­gen Farbe ein (siehe oben). Über­le­ge vor­her, wel­che Funk­ti­on passt bes­ser in das linke Ko­or­di­na­ten­sys­tem und wel­cher bes­ser in das rech­te Ko­or­di­na­ten­sys­tem? Was für Ge­mein­sam­kei­ten haben diese Funk­ti­o­nen? Wenn du dir un­si­cher bist, be­nut­ze Blei­stift und be­schrif­te die Kur­ven.
−3−2−1123x1234567yoriginO
−3−2−1123x−3−2−1123yoriginO
Wich­ti­ge Be­grif­fe

Diese Gra­phen be­zeich­net man als ​Hy­per­beln ​(mit Asym­pto­ten).



Die Asym­pto­te ​ist eine Kurve oder Linie (Ge­ra­de), an die sich der Graph einer Funk­ti­on immer wei­ter an­nä­hert. Im Un­end­li­chen (-∞, +∞) wird der Ab­stand zwi­schen den bei­den somit sehr klein (aber nie Null!)

Mathematik
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Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten
28.05.2024
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Er­gän­ze die Ei­gen­schaf­ten der ge­nann­ten Po­tenz­funk­ti­o­nen mög­lichst voll­stän­dig.

Ei­gen­schaf­ten

g (x) = x⁻²

h (x) = x⁻³

i (x) = x⁻⁴

De­fi­ni­ti­ons­be­reich (für x)

x ∈ ℜ ​\​ ​{​0​}

Wer­te­be­reich (für y)

f(x) ∈ ℜ⁺

f(x) ∈ ℜ ​\​ ​{​0​}

f(x) ∈ ℜ⁺

Mo­no­to­nie

(fal­lend​/​stei­gend)

fal­lend für x ∈ ​]​ 0​;​ +∞​]​;​ stei­gend für x ∈ ​]​-∞​;​ 0​]

fal­lend für x ​<​ 0,

fal­lend für x ​>​ 0

fal­lend für x ∈ ​]​ 0​;​ +∞​]​;​ stei­gend für x ∈ ​]​-∞​;​ 0​]

ge­mein­sa­me Punk­te

P (x|y)

A (1|1) , B (-1|1)

A (1|1)

A (1|1) , B (-1|1)

Null­stel­len

N (0|y)

keine

Asym­pto­ten

x-​Achse (waag­rech­te Asym­pto­te) und y-​Achse (senk­rech­te Asym­pto­te)

Sym­me­trie

ach­sen­sym­me­trisch zur y-​Achse

punkt­sym­me­trisch zu P(0|0)

ach­sen­sym­me­trisch zur y-​Achse

Ach­sen­schnitt­punk­te

X (0|y)

Y (x|0)

keine

4
Wenn du mit dem Ar­beits­blatt fer­tig bist, melde dich an der Hal­te­stel­le und tau­sche mit an­de­ren, die dort war­ten. Kon­trol­lie­re, ob ihr die glei­chen Er­geb­nis­se habt. Falls nicht, dis­ku­tiert diese bzw. kor­ri­giert euch ge­gen­sei­tig!
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Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten

von anonym
Mathematik
9
18.11.2025
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