• Potenzfunktionen und ihre Graphen
  • Simon Brückner
  • 14.01.2021
  • Mathematik
  • 11
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  • Potenzfunktionen und ihre Graphen

    Eine Funktion f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f, deren Gleichung für a0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small a\neq 0 und nN\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small n\in\mathbb{N} in der Form f(x)=axn\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=a\cdot x^n geschrieben werden kann, heißt Potenzfunktion vom Grad n\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small n mit Leitkoeffizient a\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} a.
    Beispiel:
    1) f\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f mit f(x)=2x4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=2x^4 ist eine Potenzfunktion vom Grad n=4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small n=4 mit Leitkoeffizient a=2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small a=2.
    2) g\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g mit g(x)=x32\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small g(x)=x^3-2 ist keine Potenzfunktion.
    3) h\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small h mit h(x)=x32x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small h(x)=x^3-2x^3 ist eine Potenzfunktion, wegen h(x)=x32x3=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small h(x)=x^3-2x^3=-x^3. Der Grad ist n=3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small n=3 der Leitkoeffizient a=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small a=-1.

    Entscheiden Sie, ob es sich bei den Funktionen mit folgenden Funktionsgleichungen um Potenzfunktionen handelt. Wenn ja, geben Sie den Grad und den Leitkoeffizienten an.
    • f(x)=3x4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=3x^4g(x)=2x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.3cm} \small g(x)=-2x^3h(x)=x1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.3cm} \small h(x)=x^{-1}
    • j(x)=x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small j(x)=-xk(x)=3x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.05cm}\small k(x)=3-x^2l(x)=x2x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \hspace{0.05cm}\small l(x)=x\cdot2x^2
    • m(x)=2x45x4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small m(x)=2x^4-5x^4p(x)=(x+2)(x2)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small \hspace{0.7cm}p(x)=(x+2)(x-2)
    • q(x)=33x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small q(x)=3^3x^2r(x)=(x+2)(x2)+4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small \hspace{1cm}r(x)=(x+2)(x-2)+4

    Verlauf

    Ergänzen Sie die Tabelle und skizzieren Sie die Graphen (Punkte, die außerhalb des dargestellten Koordinatensystems liegen, müssen dabei nicht gezeichnet werden).
    -3-2-112x-80-60-40-2020406080yoriginO

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    f(x)=x2\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)=x^2

    g(x)=x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} g(x)=x^3

    h(x)=x4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} h(x)=x^4

    j(x)=x5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} j(x)=x^5

    Merke

    Alle Potenzfunktionen mit Leitkoeffizient a=1\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small a=1 ver-
    laufen durch die Punkte O(00)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small O(0|0)} und P(11)\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\small P(1|1)}.
    Potenzfunktionen von Grad besitzen achsen­symmetrische Graphen.
    Potenzfunktionen von Grad besitzen punkt­symmetrische Graphen.

  • Skizzieren Sie die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen. Wodurch unterscheiden sich die Graphen? Wie können diese Unterschiede anhand der Funktionsgleichungen erklärt werden?
    • f(x)=0,4x3\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=-0{,}4x^3
    • f(x)=0,5x4\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=0{,}5x^4
    • f(x)=2x5\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=2x^5
    • f(x)=0,1x6\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \small f(x)=-0{,}1x^6
    -11x-11yoriginO
    -11x-11yoriginO
    -11x-11yoriginO
    -11x-11yoriginO

    Aus diesen Ideen sollen nun allgemeine Regeln abgeleitet werden. Überprüfen Sie Ihre Überlegungen mithilfe des Videos unter folgendem Link:
    https://vimeo.com/397597966

    n gerade\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\text{n gerade}}

    n ungerade\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{\text{n ungerade}}

    a<0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{a<0}


    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty
    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty


    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty
    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty

    a>0\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} \cloze{a>0}


    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty
    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty


    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty
    f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty

    xyoriginO
    xyoriginO
    xyoriginO
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