• Potenzfunktionen und ihre Graphen
  • Simon Brückner
  • 14.01.2021
  • Mathematik
  • 11
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Potenzfunktionen und ihre Graphen

Eine Funktion f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f, deren Gleichung für a0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small a\neq 0 und nN\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small n\in\mathbb{N} in der Form f(x)=axn\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=a\cdot x^n geschrieben werden kann, heißt Potenzfunktion vom Grad n\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small n mit Leitkoeffizient a\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} a.

Beispiel:

1) f\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f mit f(x)=2x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=2x^4 ist eine Potenzfunktion vom Grad n=4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small n=4 mit Leitkoeffizient a=2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small a=2.

2) g\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small g mit g(x)=x32\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small g(x)=x^3-2 ist keine Potenzfunktion.

3) h\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small h mit h(x)=x32x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small h(x)=x^3-2x^3 ist eine Potenzfunktion, wegen h(x)=x32x3=x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small h(x)=x^3-2x^3=-x^3. Der Grad ist n=3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small n=3 der Leitkoeffizient a=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small a=-1.

Entscheiden Sie, ob es sich bei den Funktionen mit folgenden Funktionsgleichungen um Potenzfunktionen handelt. Wenn ja, geben Sie den Grad und den Leitkoeffizienten an.
  • f(x)=3x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=3x^4 g(x)=2x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.3cm} \small g(x)=-2x^3 h(x)=x1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.3cm} \small h(x)=x^{-1}
  • j(x)=x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small j(x)=-x k(x)=3x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.05cm}\small k(x)=3-x^2 l(x)=x2x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \hspace{0.05cm}\small l(x)=x\cdot2x^2
  • m(x)=2x45x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small m(x)=2x^4-5x^4 p(x)=(x+2)(x2)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small \hspace{0.7cm}p(x)=(x+2)(x-2)
  • q(x)=33x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small q(x)=3^3x^2 r(x)=(x+2)(x2)+4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small \hspace{1cm}r(x)=(x+2)(x-2)+4

Verlauf

Ergänzen Sie die Tabelle und skizzieren Sie die Graphen (Punkte, die außerhalb des dargestellten Koordinatensystems liegen, müssen dabei nicht gezeichnet werden).
−3−2−112x−80−60−40−2020406080yoriginO

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(x)=x2\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)=x^2

g(x)=x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} g(x)=x^3

h(x)=x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} h(x)=x^4

j(x)=x5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} j(x)=x^5

Merke

Alle Potenzfunktionen mit Leitkoeffizient a=1\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small a=1 ver-

laufen durch die Punkte O(00)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small O(0|0)} und P(11)\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\small P(1|1)}.

Potenzfunktionen von Grad besitzen achsen­symmetrische Graphen.

Potenzfunktionen von Grad besitzen punkt­symmetrische Graphen.

Skizzieren Sie die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen. Wodurch unterscheiden sich die Graphen? Wie können diese Unterschiede anhand der Funktionsgleichungen erklärt werden?
  • f(x)=0,4x3\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=-0{,}4x^3
  • f(x)=0,5x4\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=0{,}5x^4
  • f(x)=2x5\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=2x^5
  • f(x)=0,1x6\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \small f(x)=-0{,}1x^6
−11x−11yoriginO
−11x−11yoriginO
−11x−11yoriginO
−11x−11yoriginO

Aus diesen Ideen sollen nun allgemeine Regeln abgeleitet werden. Überprüfen Sie Ihre Überlegungen mithilfe des Videos unter folgendem Link:

https://vimeo.com/397597966

n gerade\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\text{n gerade}}

n ungerade\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{\text{n ungerade}}

a<0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{a<0}



























f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty

f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty



























f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty

f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty

a>0\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} \cloze{a>0}



























f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty

f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty



























f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{-\infty}\text{ für }x\rightarrow-\infty

f(x) fu¨x\gdef\cloze#1{{\raisebox{-.05em}{\colorbox{none}{\color{transparent}{\large{$\displaystyle #1$}}}}}} f(x)\rightarrow\cloze{\hspace{0.3cm}\infty}\text{ für }x\rightarrow\infty

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